10 Faktorisierungsmethoden in der Mathematik

Factoring ist eine mathematische Methode zur Vereinfachung eines Ausdrucks, der Zahlen, Variablen oder eine Kombination aus beiden enthalten kann.

Um von Factoring zu sprechen, muss der Student zunächst in die Welt der Mathematik eintauchen und bestimmte Grundbegriffe verstehen.

Konstanten und Variablen sind zwei grundlegende Konzepte. Eine Konstante ist eine Zahl, die eine beliebige Zahl sein kann. Der Anfänger hat normalerweise Probleme mit ganzen Zahlen, die einfacher zu handhaben sind. Später wird dieses Feld jedoch auf jede reale und sogar komplexe Menge erweitert.

Oft wird uns gesagt, dass die Variable "x" ist und einen beliebigen Wert annimmt. Dieses Konzept ist jedoch etwas kurz. Um es besser zu assimilieren, stellen wir uns vor, dass wir eine unendliche Straße in eine bestimmte Richtung fahren.

Jeder Moment, in dem wir uns fortbewegen, und es ist die zurückgelegte Strecke seit Beginn unseres Spaziergangs, die uns unsere Position verrät. Unsere Position ist die Variable.

Nun, wenn Sie 300 Meter auf dieser Straße gelaufen sind, aber stattdessen 600, kann ich sagen, dass meine Position 2-mal Ihre ist, das ist I = 2 * YOU. Die Variablen der Gleichung sind YOU und ME und die Konstante ist 2. Dieser konstante Wert ist der Faktor, der die Variable multipliziert.

Wenn wir kompliziertere Gleichungen haben, verwenden wir die Faktorisierung, um die Faktoren zu extrahieren, die gebräuchlich sind, um den Ausdruck zu vereinfachen, die Lösung zu erleichtern oder algebraische Operationen damit durchführen zu können.

Primzahlen berücksichtigen

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl, die nur für sich und für die Einheit teilbar ist. Die Nummer eins gilt nicht als Primzahl.

Die Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11 ... usw. Eine Formel zur Berechnung einer Primzahl existiert bisher nicht. Um also zu wissen, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, müssen Sie versuchen, sie zu faktorisieren und zu testen.

Eine Zahl in Primzahlen zu zerlegen bedeutet, die Zahlen zu finden, die multipliziert und addiert die angegebene Zahl ergeben. Wenn wir zum Beispiel die Nummer 132 haben, teilen wir sie folgendermaßen auf:

Auf diese Weise haben wir 132 als Multiplikation von Primzahlen berücksichtigt.

Polynome

Gehen wir zurück auf die Straße

Jetzt gehen nicht nur du und ich auf der Straße. Es gibt auch andere Leute. Jeder von ihnen repräsentiert eine Variable. Und wir gehen nicht nur weiter die Straße entlang, sondern einige von ihnen verirren sich und gehen aus dem Weg. Wir gehen im Flugzeug und nicht auf der Geraden.

Einige Leute verdoppeln oder multiplizieren unsere Geschwindigkeit nicht nur mit einem Faktor, sondern sie können auch so schnell sein wie das Quadrat oder der Würfel oder die n-te Potenz von uns.

Wir werden das neue Ausdruckspolynom nennen, da es viele Variablen gleichzeitig ausdrückt. Der Grad des Polynoms ist durch den größten Exponenten seiner Variablen gegeben.

Zehn Factoring-Fälle

1- Um ein Polynom zu faktorisieren, suchen wir erneut nach gemeinsamen Faktoren (die sich wiederholen) im Ausdruck.

2- Es ist möglich, dass der gemeinsame Faktor selbst ein Polynom ist, zum Beispiel:

3- Perfektes quadratisches Trinom. Es wird der Ausdruck genannt, der sich aus dem Quadrieren eines Binomials ergibt.

4- Unterschied perfekter Quadrate. Tritt ein, wenn der Ausdruck die Subtraktion von zwei Begriffen ist, die eine exakte Quadratwurzel haben:

5- Perfektes quadratisches Trinom durch Addition und Subtraktion. Es tritt auf, wenn der Ausdruck drei Terme hat; Ein paar davon sind perfekte Quadrate, und das dritte wird mit einer Summe abgeschlossen, die das Doppelte des Produkts der Wurzeln ergibt.

Es wäre wünschenswert, dass es von der Form ist

Dann addieren wir die fehlenden Terme und subtrahieren sie, um die Gleichung nicht zu ändern:

Umgruppierung haben wir:

Nun wenden wir die Summe der Quadrate an, die besagt:

Wo:

6- Trinomial Form:

In diesem Fall wird wie folgt vorgegangen:

Beispiel: sei das Polynom

Das Vorzeichen hängt von Folgendem ab: In dem ersten der Faktoren hat das Vorzeichen dasselbe wie der zweite der Terme des Trinoms, in diesem Fall (+2); im zweiten der Faktoren ergibt sich das Vorzeichen, indem das Vorzeichen des zweiten und dritten Faktors des Trinomials multipliziert wird ((+12). (+36)) = +432.

Wenn die Vorzeichen in beiden Fällen gleich sind, suchen wir nach zwei Zahlen, die den zweiten Term addieren, und das Produkt oder die Multiplikation ist gleich dem dritten Term des Trinoms:

k + m = b; km = c

Wenn andererseits die Vorzeichen nicht gleich sind, müssen zwei Zahlen so gefunden werden, dass die Differenz gleich dem zweiten Term ist und ihre Multiplikation den Wert des dritten Terms ergibt.

km = b; km = c

In unserem Fall:

Dann bleibt die Faktorisierung:

Das gesamte Trinom wird mit dem Koeffizienten a multipliziert.

Das Trinom wird in zwei binomische Faktoren zerlegt, deren erster Term die Wurzel des quadratischen Terms ist

Die Zahlen syp sind so, dass ihre Summe dem Koeffizienten 8 und seiner Multiplikation mit 12 entspricht

8- Summe oder Differenz der n-ten Potenzen. Es ist der Fall des Ausdrucks:

Und es gilt die Formel:

Im Falle einer Leistungsdifferenz gilt unabhängig davon, ob n gerade oder ungerade ist, Folgendes:

Beispiele:

9- Perfekter Würfel aus Tetranomen. Mit dem vorherigen Fall werden die Formeln abgeleitet:

10- Binomialteiler:

Wenn wir annehmen, dass ein Polynom das Ergebnis einer Multiplikation mehrerer Binome ist, wird diese Methode angewendet. Zuerst werden die Nullen des Polynoms bestimmt.

Die Nullen oder Wurzeln sind die Werte, die die Gleichung gleich Null machen. Jeder Faktor wird mit dem Negativ der gefundenen Wurzel erzeugt. Wenn beispielsweise das Polynom P (x) für x = 8 Null wird, ist eines der Binome, aus denen es besteht, (x-8). Beispiel:

Die Teiler des unabhängigen Terms 14 sind ± 1, ± 2, ± 7 und ± 14, daher wird ausgewertet, ob die Binome:

Sie sind Teiler des Polynoms.

Auswertung für jede Wurzel:

Dann wird der Ausdruck folgendermaßen faktorisiert:

Das Polynom wird ausgewertet für die Werte:

Alle diese Vereinfachungsmethoden sind nützlich, um praktische Probleme in verschiedenen Bereichen zu lösen, deren Prinzipien auf mathematischen Ausdrücken wie Physik, Chemie usw. basieren. Sie sind daher wichtige Werkzeuge in jeder dieser Wissenschaften und ihren spezifischen Disziplinen .