Was ist der gemeinsame Faktor bei der Gruppierung? 6 Beispiele

Der gemeinsame Faktor bei der Gruppierung ist ein Faktor, durch den die Begriffe eines Polynoms "gruppiert" werden, um eine vereinfachte Form des Polynoms zu erzeugen.

Ein Beispiel für die Faktorisierung durch Gruppierung ist 2 × 2 + 8x + 3x + 12, was der Faktorisierungsform (2x + 3) (x + 4) entspricht.

Bei der Faktorisierung durch Gruppierung wird nach den gemeinsamen Faktoren zwischen den Begriffen eines Polynoms gesucht, und später wird die Verteilungseigenschaft angewendet, um das Polynom zu vereinfachen. Aus diesem Grund wird es manchmal als gemeinsamer Faktor durch Gruppierung bezeichnet.

Schritte zum Faktorisieren durch Gruppieren

Schritt Nr. 1

Sie müssen sicher sein, dass das Polynom vier Terme hat; Wenn es sich um ein Trinom (mit drei Termen) handelt, muss es in ein Polynom mit vier Termen umgewandelt werden.

Schritt Nr. 2

Bestimmen Sie, ob die vier Terme einen gemeinsamen Faktor haben. In diesem Fall muss der gemeinsame Faktor extrahiert und das Polynom neu geschrieben werden.

Zum Beispiel: 5 × 2 + 10 x + 25x + 5

Gemeinsamer Faktor: 5

5 (x2 + 2x + 5x + 1)

Schritt Nr. 3

Falls sich der gemeinsame Faktor der ersten beiden Terme vom gemeinsamen Faktor der letzten beiden Terme unterscheidet, müssen die Terme mit gemeinsamen Faktoren gruppiert und das Polynom neu geschrieben werden.

Zum Beispiel: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4

Gemeinsamer Faktor in 5 × 2 + 10 x: 5x

Gemeinsamer Faktor in 2x + 4: 2

5x (x + 2) + 2 (x + 2)

Schritt Nr. 4

Wenn die resultierenden Faktoren identisch sind, wird das Polynom einschließlich des gemeinsamen Faktors einmal umgeschrieben.

Zum Beispiel: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4

5x (x + 2) + 2 (x + 2)

(5x + 2) (x + 2)

Beispiele für die Faktorisierung durch Gruppierung

Beispiel Nr. 1: 6 × 2 + 3x + 20x + 10

Dies ist ein Polynom mit vier Begriffen, von denen es keinen gemeinsamen Faktor gibt. Die Begriffe eins und zwei haben jedoch 3x als gemeinsamen Faktor; während die Terme drei und vier 10 als gemeinsamen Faktor haben.

Durch Extrahieren der gemeinsamen Faktoren aus jedem Begriffspaar können Sie das Polynom folgendermaßen umschreiben:

3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)

Nun ist ersichtlich, dass diese beiden Begriffe einen gemeinsamen Faktor haben: (2x + 1); Dies bedeutet, dass Sie diesen Faktor extrahieren und das Polynom erneut schreiben können:

(3x + 10) (2x + 1)

Beispiel Nr. 2: x2 + 3x + 2x + 6

In diesem Beispiel haben die vier Terme wie im vorherigen keinen gemeinsamen Faktor. Die ersten beiden Terme haben jedoch x als gemeinsamen Faktor, während in den letzten beiden der gemeinsame Faktor 2 ist.

In diesem Sinne können Sie das Polynom folgendermaßen umschreiben:

x (x + 3) + 2 (x + 3)

Nun extrahieren wir den gemeinsamen Faktor (x + 3). Das Ergebnis ist das Folgende:

(x + 2) (x + 3)

Beispiel Nr. 3: 2J3 + J2 + 8J2 + 4J

In diesem Fall ist der gemeinsame Faktor der ersten beiden Terme y2, während der gemeinsame Faktor der letzten beiden 4y ist.

Das umgeschriebene Polynom würde folgendermaßen aussehen:

y2 (2y + 1) + 4y (2y + 1)

Nun extrahieren wir den Faktor (2y + 1) und das Ergebnis ist wie folgt:

(y2 + 4y) (2y + 1)

Beispiel Nr. 4: 2 × 2 + 17x + 30

Wenn das Polynom nicht vier Terme hat, sondern ein Trinom (das drei Terme hat), ist es möglich, durch Gruppierung zu faktorisieren.

Es ist jedoch erforderlich, den Begriff des Mediums so zu unterteilen, dass Sie vier Elemente haben können.

Im Trinom 2 × 2 + 17x + 30 muss der Term 17x in zwei geteilt werden.

In den Trinomen, die der Form ax2 + bx + c folgen, gilt die Regel, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt die Achse ist, deren Summe gleich b ist.

Dies bedeutet, dass wir in diesem Beispiel eine Zahl benötigen, deren Produkt 2 x 30 = 60 und deren Summe 17 ist. Die Antwort hierfür ist Übung 5 und 12.

Als nächstes schreiben wir das Trinom in Form eines Polynoms um:

2x2 + 12x + 5x + 30

Die ersten beiden Terme haben x als gemeinsamen Faktor, während der gemeinsame Faktor in den letzten beiden Faktoren 6 ist. Das resultierende Polynom wäre:

x (2x + 5) + 6 (2x + 5)

Schließlich extrahieren wir den gemeinsamen Faktor in diesen beiden Begriffen; Das Ergebnis ist das Folgende:

(x + 6) (2x + 5)

Beispiel Nr. 5: 4 × 2 + 13x + 9

In diesem Beispiel müssen Sie auch den Mittelterm teilen, um ein Polynom aus vier Termen zu bilden.

In diesem Fall benötigen wir zwei Zahlen, deren Produkt 4 x 9 = 36 ist und deren Summe gleich 13 ist. In diesem Sinne sind die erforderlichen Zahlen 4 und 9.

Nun wird das Trinom in Form eines Polynoms umgeschrieben:

4 × 2 + 4x + 9x + 9

In den ersten beiden Begriffen ist der gemeinsame Faktor 4x, während in letzterem der gemeinsame Faktor 9 ist.

4x (x + 1) + 9 (x + 1)

Sobald wir den gemeinsamen Faktor (x + 1) extrahiert haben, lautet das Ergebnis wie folgt:

(4x + 9) (x +1)

Beispiel Nr. 6: 3 × 3 - 6x + 15x - 30

Im vorgeschlagenen Polynom haben alle Terme einen gemeinsamen Faktor: 3. Dann wird das Polynom wie folgt umgeschrieben:

3 (x3 - 2x + 5x -10)

Nun gruppieren wir die Begriffe in Klammern und bestimmen den gemeinsamen Faktor zwischen ihnen. In den ersten beiden Fällen ist der gemeinsame Faktor x und in den letzten beiden Fällen 5:

3 (x2 (x - 2) + 5 (x - 2))

Schließlich wird der gemeinsame Faktor (x - 2) extrahiert; Das Ergebnis ist das Folgende:

3 (x2 + 5) (x - 2)