Wie berechnet man die Seiten und Winkel eines Dreiecks?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Seiten und Winkel eines Dreiecks zu berechnen . Diese hängen von der Art des Dreiecks ab, mit dem Sie arbeiten.

In dieser Gelegenheit zeigen wir, wie man die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, vorausgesetzt, dass bestimmte Dreiecksdaten bekannt sind.

Folgende Elemente werden verwendet:

- Der Satz von Pythagoras

Wenn ein rechtwinkliges Dreieck mit den Beinen "a", "b" und der Hypotenuse "c" gegeben ist, ist es wahr, dass "c² = a² + b²".

- Fläche eines Dreiecks

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks lautet A = (b × h) / 2, wobei «b» die Länge der Basis und «h» die Länge der Höhe ist.

- Winkel eines Dreiecks

Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180º.

- Die trigonometrischen Funktionen:

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Dann werden die Sinus-, Cosinus- und Tangens-Trigonometriefunktionen des Beta (β) -Winkels wie folgt definiert:

sin (β) = CO / Hüfte, cos (β) = CA / Hüfte und tan (β) = CO / CA.

Wie berechnet man die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks?

Bei einem rechtwinkligen ABC können folgende Situationen auftreten:

1- Die beiden Beine sind bekannt

Wenn das Bein "a" 3 cm und das Bein "b" 4 cm misst, wird zur Berechnung des Wertes von "c" der Satz von Pythagoras verwendet. Wenn wir die Werte von «a» und «b» einsetzen, erhalten wir c² = 25 cm², was impliziert, dass c = 5 cm ist.

Wenn nun der Winkel β dem Schenkel "b" gegenüberliegt, ist sin (β) = 4/5. Bei Anwendung der inversen Sinusfunktion erhalten wir in dieser letzten Gleichheit β = 53, 13º. Zwei Innenwinkel des Dreiecks sind bereits bekannt.

Sei θ der Winkel, der noch bekannt sein muss, dann 90º + 53, 13º + θ = 180º, woraus wir θ = 36, 87º erhalten.

In diesem Fall ist es nicht erforderlich, dass die bekannten Seiten die beiden Beine sind. Wichtig ist, den Wert von zwei beliebigen Seiten zu kennen.

2- Ein Kathetus und die Umgebung sind bekannt

Sei a = 3 cm das bekannte Bein und A = 9 cm² die Fläche des Dreiecks.

In einem rechtwinkligen Dreieck kann ein Bein als Basis und das andere als Höhe betrachtet werden (da sie senkrecht stehen).

Angenommen, "a" ist die Basis, also 9 = (3 × h) / 2, woraus sich ergibt, dass der andere Kathetus 6 cm misst. Um die Hypotenuse zu berechnen, gehen wir wie im vorigen Fall vor und erhalten c = √45 cm.

Wenn nun der Winkel β dem Schenkel "a" gegenüberliegt, dann ist sin (β) = 3 / √45. Wenn Sie β löschen, erhalten Sie einen Wert von 26, 57º. Es bleibt nur der Wert des dritten Winkels θ zu kennen.

Es ist zufrieden, dass 90º + 26, 57º + θ = 180º, woraus geschlossen wird, dass θ = 63, 43º.

3- Ein Winkel und ein Bein sind bekannt

Sei β = 45 ° der bekannte Winkel und a = 3 cm der bekannte Schenkel, wobei der Schenkel "a" dem Winkel β entgegengesetzt ist. Mit der Tangentenformel erhalten wir tg (45º) = 3 / CA, woraus sich ergibt, dass CA = 3 cm.

Mit dem Satz von Pythagoras erhalten wir c² = 18 cm², dh c = 3√2 cm.

Es ist bekannt, dass ein Winkel 90º misst und dass β 45º misst, woraus geschlossen wird, dass der dritte Winkel 45º misst.