Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung oder eine Gleichung zweiten Grades kann in Abhängigkeit von den Koeffizienten, die in dieser Gleichung auftreten, null, eine oder zwei reelle Lösungen haben.

Wenn Sie mit komplexen Zahlen arbeiten, können Sie sagen, dass jede quadratische Gleichung zwei Lösungen hat.

Eine quadratische Gleichung zu beginnen ist eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und x eine Variable ist.

Es wird gesagt, dass x1 eine Lösung der vorhergehenden quadratischen Gleichung ist, wenn das Ersetzen von x durch x1 die Gleichung erfüllt, das heißt, wenn a (x1) ² + b (x1) + c = 0 ist.

Wenn Sie zum Beispiel die Gleichung x²-4x + 4 = 0 haben, dann ist x1 = 2 die Lösung, da (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0 ist.

Wenn dagegen x2 = 0 eingesetzt wird, erhalten wir (0) ²-4 (0) + 4 = 4 und als 4 4 0 ist x2 = 0 keine Lösung der quadratischen Gleichung.

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung kann in zwei Fälle unterteilt werden:

1.- In reellen Zahlen

Bei der Arbeit mit reellen Zahlen können quadratische Gleichungen Folgendes haben:

- Lösungen: Das heißt, es gibt keine reelle Zahl, die die quadratische Gleichung erfüllt. Beispielsweise gibt es für die durch die Gleichung x² + 1 = 0 gegebene Gleichung keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, da sowohl x² größer als oder gleich Null ist und 1 strenger als Null ist, so dass seine Summe größer sein wird Streng diese Null.

- Eine wiederholte Lösung: Es gibt einen einzigen reellen Wert, der die quadratische Gleichung erfüllt. Zum Beispiel ist die einzige Lösung für die Gleichung x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-Zwei verschiedene Lösungen: Es gibt zwei Werte, die die quadratische Gleichung erfüllen. Zum Beispiel hat x² + x-2 = 0 zwei verschiedene Lösungen, nämlich x1 = 1 und x2 = -2.

2.- In komplexen Zahlen

Bei der Arbeit mit komplexen Zahlen haben die quadratischen Gleichungen immer zwei Lösungen, z1 und z2, wobei z2 das Konjugat von z1 ist. Darüber hinaus können sie klassifiziert werden in:

-Komplexe: Die Lösungen haben die Form z = p ± qi, wobei p und q reelle Zahlen sind. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall der vorherigen Liste.

Reine Komplexe: Ist der Realteil der Lösung gleich Null, dh die Lösung hat die Form z = ± qi, wobei q eine reelle Zahl ist. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall der vorherigen Liste.

-Komplexe mit Imaginärteil gleich Null: Ist der komplexe Teil der Lösung gleich Null, dh die Lösung ist eine reelle Zahl. Dieser Fall entspricht den letzten beiden Fällen der vorherigen Liste.

Wie werden die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet?

Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu berechnen, wird eine als "Resolver" bekannte Formel verwendet, die besagt, dass die Lösungen einer Gleichung ax² + bx + c = 0 durch den Ausdruck des folgenden Bildes gegeben sind:

Die Größe, die in der Quadratwurzel vorkommt, wird als Diskriminante der quadratischen Gleichung bezeichnet und mit dem Buchstaben "d" bezeichnet.

Die quadratische Gleichung wird haben:

-Zwei echte Lösungen, wenn und nur wenn d> 0.

-Eine echte Lösung wird nur dann wiederholt, wenn d = 0 ist.

-Fünf reale Lösungen (oder zwei komplexe Lösungen), wenn und nur wenn d <0 ist.

Beispiele:

-Die Lösungen der Gleichung x² + x-2 = 0 sind gegeben durch:

-Die Gleichung x²-4x + 4 = 0 hat eine wiederholte Lösung, die gegeben ist durch:

-Die Lösungen der Gleichung x² + 1 = 0 sind gegeben durch:

Wie in diesem letzten Beispiel zu sehen ist, ist x2 das Konjugat von x1.