Was ist eine Folge in der Geometrie?

Eine Folgerung ist ein Ergebnis, das in der Geometrie häufig verwendet wird, um auf ein unmittelbares Ergebnis von etwas hinzuweisen, das bereits demonstriert wurde. Normalerweise erscheinen die Korollarien in der Geometrie nach dem Beweis eines Theorems.

Da es sich um ein direktes Ergebnis eines bereits aufgezeigten Theorems oder einer bereits bekannten Definition handelt, sind für die Korollarien keine Beweise erforderlich. Diese Ergebnisse sind sehr einfach zu überprüfen und werden daher nicht demonstriert.

Die Korollarien sind Begriffe, die üblicherweise im Bereich der Mathematik vorkommen. Es ist aber nicht nur auf den Bereich der Geometrie beschränkt.

Das Wort corollary stammt aus dem lateinischen Corollarium und wird allgemein in der Mathematik verwendet und hat ein größeres Erscheinungsbild in den Bereichen Logik und Geometrie.

Wenn ein Autor eine Folgerung verwendet, sagt er, dass dieses Ergebnis vom Leser selbst entdeckt oder abgeleitet werden kann, indem er einen zuvor erläuterten Satz oder eine Definition als Werkzeug verwendet.

Beispiele für Folgerungen

Nachfolgend sind zwei Sätze (die nicht bewiesen werden) aufgeführt, denen jeweils ein oder mehrere Folgerungen folgen, die aus diesem Satz abgeleitet werden. Zusätzlich ist eine kurze Erläuterung der Darstellung des Korollars beigefügt.

Satz 1

In einem rechtwinkligen Dreieck ist c² = a² + b², wobei a, b und c die Beine bzw. die Hypotenuse des Dreiecks sind.

Folgerung 1.1

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist länger als jedes Bein.

Erklärung: Wenn c² = a² + b² ist, kann daraus geschlossen werden, dass c²> a² und c²> b², woraus geschlossen wird, dass «c» immer größer sein wird als «a» und «b».

Satz 2

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180º.

Folgerung 2.1

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der Winkel neben der Hypotenuse 90 °.

Erklärung: In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es einen rechten Winkel, das heißt, sein Maß beträgt 90º. Mit Theorem 2 haben Sie 90º plus die Maße der beiden anderen Winkel neben der Hypotenuse, die 180º entsprechen. Beim Löschen wird ermittelt, dass die Summe der Maße der benachbarten Winkel 90º beträgt.

Folgerung 2.2

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die an die Hypotenuse angrenzenden Winkel spitz.

Erklärung: Unter Verwendung der Folgerung 2.1 haben wir, dass die Summe der Maße der Winkel neben der Hypotenuse gleich 90º ist, daher muss das Maß beider Winkel kleiner als 90º sein, und daher sind diese Winkel spitz.

Folgerung 2.3

Ein Dreieck kann nicht zwei rechte Winkel haben.

Erklärung: Wenn ein Dreieck zwei rechte Winkel hat, ergibt das Addieren der Maße der drei Winkel eine Zahl größer als 180º, und dies ist dank Satz 2 nicht möglich.

Folgerung 2.4

Ein Dreieck kann nicht mehr als einen stumpfen Winkel haben.

Erklärung: Wenn ein Dreieck zwei stumpfe Winkel hat, wird beim Addieren seiner Maße ein Ergebnis von mehr als 180º erhalten, was Theorem 2 widerspricht.

Folgerung 2.5

In einem gleichseitigen Dreieck beträgt das Maß für jeden Winkel 60º.

Erklärung: Ein gleichseitiges Dreieck ist auch gleichwinklig. Wenn also «x» das Maß für jeden Winkel ist, ergibt sich durch Addieren des Maßes der drei Winkel 3x = 180º, woraus geschlossen wird, dass x = 60º ist.