Was ist der Gravicentro? (mit Beispielen)

Das Gravicentro ist eine Definition, die in der Geometrie beim Arbeiten mit Dreiecken häufig verwendet wird.

Um die Definition von gravicentro zu verstehen, muss man zuerst die Definition der "Mediane" eines Dreiecks kennen.

Die Mediane eines Dreiecks sind die Liniensegmente, die an jedem Scheitelpunkt beginnen und den Mittelpunkt der diesem Scheitelpunkt gegenüberliegenden Seite erreichen.

Der Schnittpunkt der drei Mediane eines Dreiecks wird Barycenter oder auch Gravicentro genannt.

Es reicht nicht aus, nur die Definition zu kennen, es ist interessant zu wissen, wie dieser Punkt berechnet wird.

Berechnung des Barycenters

Bei einem Dreieck ABC mit den Eckpunkten A = (x1, y1), B = (x2, y2) und C = (x3, y3) ist das Gravicentro der Schnittpunkt der drei Mediane des Dreiecks.

Eine schnelle Formel, die die Berechnung des Gravizentrums eines Dreiecks ermöglicht, wobei die Koordinaten seiner Eckpunkte bekannt sind:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Mit dieser Formel können Sie die Position des Gravicentro in der kartesischen Ebene ermitteln.

Eigenschaften des Gravicentro

Es ist nicht erforderlich, die drei Mediane des Dreiecks zu zeichnen, da beim Zeichnen von zwei davon deutlich wird, wo sich das Gravicentro befindet.

Das Gravicentro unterteilt jeden Median in 2 Teile mit einem Verhältnis von 2: 1, dh die beiden Segmente jedes Medians werden in Segmente mit den Längen 2/3 und 1/3 der Gesamtlänge unterteilt, wobei der größte Abstand derjenige ist, der ist zwischen dem Scheitelpunkt und dem Gravicentro.

Das folgende Bild veranschaulicht diese Eigenschaft am besten.

Die Formel zur Berechnung des Gravicentro ist sehr einfach anzuwenden. Der Weg, um diese Formel zu erhalten, besteht darin, die Geradengleichungen zu berechnen, die jeden Median definieren, und dann den Schnittpunkt dieser Geraden zu finden.

Übungen

Im Folgenden finden Sie eine kleine Liste von Problemen bei der Berechnung des Schwerpunkts.

1.- Berechnen Sie bei einem Dreieck der Eckpunkte A = (0, 0), B = (1, 0) und C = (1, 1) das Gravizentrum des Dreiecks.

Mit der gegebenen Formel kann man schnell schließen, dass das Gravicentro des Dreiecks ABC ist:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Wenn ein Dreieck Eckpunkte A = (0, 0), B = (1, 0) und C = (1 / 2, 1) hat, wie lauten die Koordinaten des Gravicentro?

Da die Eckpunkte des Dreiecks bekannt sind, wird die Formel zur Berechnung des Gravicentro angewendet. Daher hat der Gravicentro Koordinaten:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Berechnen Sie mögliche Gravitationspunkte für ein gleichseitiges Dreieck so, dass zwei seiner Eckpunkte A = (0, 0) und B = (2, 0) sind.

In dieser Übung werden nur zwei Eckpunkte des Dreiecks angegeben. Um die möglichen Gravitationspunkte zu finden, berechnen Sie zunächst den dritten Eckpunkt des Dreiecks.

Da das Dreieck gleichseitig ist und der Abstand zwischen A und B 2 beträgt, haben wir den dritten Eckpunkt C, er muss sich im Abstand 2 von A und B befinden.

Unter Verwendung der Tatsache, dass in einem gleichseitigen Dreieck die Höhe mit dem Median übereinstimmt und auch unter Verwendung des Satzes von Pythagoras, können wir schließen, dass die Optionen für die Koordinaten des dritten Scheitelpunkts C1 = (1, √3) oder C2 = (1, - √3).

Die Koordinaten der beiden möglichen Gravizentren sind also:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 - 3) / 3) = (3/3, - 3/3) = (1, - 3/3).

Dank der vorherigen Berichte kann auch festgestellt werden, dass der Median in zwei Teile geteilt wurde, deren Verhältnis 2: 1 beträgt.