Rechteckige Komponenten eines Vektors (mit Übungen)

Die rechteckigen Komponenten eines Vektors sind die Daten, aus denen dieser Vektor besteht. Um sie zu bestimmen, ist ein Koordinatensystem erforderlich, bei dem es sich im Allgemeinen um die kartesische Ebene handelt.

Sobald Sie einen Vektor in einem Koordinatensystem haben, können Sie dessen Komponenten berechnen. Dies sind 2, eine horizontale Komponente (parallel zur X-Achse), die als "Komponente auf der X-Achse" bezeichnet wird, und eine vertikale Komponente (parallel zur Y-Achse), die als "Komponente auf der Y-Achse" bezeichnet wird.

Um die Komponenten zu bestimmen, müssen bestimmte Vektordaten bekannt sein, z. B. ihre Größe und der Winkel, den sie mit der X-Achse bilden.

Wie bestimme ich die rechteckigen Komponenten eines Vektors?

Um diese Komponenten zu bestimmen, müssen bestimmte Beziehungen zwischen rechtwinkligen Dreiecken und trigonometrischen Funktionen bekannt sein.

Im folgenden Bild sehen Sie diese Beziehung.

Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Quotienten zwischen dem Maß des Beins gegenüber dem Winkel und dem Maß der Hypotenuse.

Andererseits ist der Kosinus eines Winkels gleich dem Quotienten zwischen der Messung des dem Winkel benachbarten Beins und der Messung der Hypotenuse.

Die Tangente eines Winkels ist gleich dem Quotienten zwischen der Messung des gegenüberliegenden Schenkels und der Messung des benachbarten Schenkels.

In all diesen Beziehungen ist es notwendig, das entsprechende rechtwinklige Dreieck zu bestimmen.

Gibt es noch andere Methoden?

Ja Abhängig von den bereitgestellten Daten kann die Methode zur Berechnung der rechteckigen Komponenten eines Vektors variieren. Ein weiteres Werkzeug, das häufig verwendet wird, ist der Satz von Pythagoras.

Übungen

In den folgenden Übungen werden die Definition der rechteckigen Komponenten eines Vektors und die oben beschriebenen Beziehungen in die Praxis umgesetzt.

Erste Übung

Es ist bekannt, dass ein Vektor A eine Größe von 12 hat und der Winkel, den dieser mit der X-Achse bildet, ein Maß von 30 ° hat. Bestimmen Sie die rechteckigen Komponenten des Vektors A.

Lösung

Wenn das Bild geschätzt wird und die oben beschriebenen Formeln verwendet werden, kann geschlossen werden, dass die Komponente auf der Y-Achse des Vektors A gleich ist

sin (30 °) = Vy / 12 und daher Vy = 12 * (1/2) = 6.

Andererseits haben wir, dass die Komponente auf der X-Achse des Vektors A gleich ist

cos (30 °) = Vx / 12 und daher Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Zweite Übung

Wenn der Vektor A eine Größe von 5 hat und die Komponente auf der X-Achse gleich 4 ist, bestimmen Sie den Wert der Komponente von A auf der y-Achse.

Lösung

Nach dem Satz von Pythagoras ist die Größe des Vektors A im Quadrat gleich der Summe der Quadrate der beiden rechteckigen Komponenten. Das heißt, M² = (Vx )² + (Vy )².

Wenn Sie die angegebenen Werte ersetzen, müssen Sie

5² = (4 )² + (Vy )², daher 25 = 16 + (Vy )².

Dies impliziert, dass (Vy) ² = 9 und folglich Vy = 3 ist.

Dritte Übung

Wenn der Vektor A eine Größe von 4 hat und dies einen Winkel von 45 ° mit der X-Achse bildet, bestimmen Sie die rechteckigen Komponenten des Vektors.

Lösung

Unter Verwendung der Beziehungen zwischen einem rechtwinkligen Dreieck und den trigonometrischen Funktionen kann geschlossen werden, dass die Komponente auf der Y-Achse des Vektors A gleich ist

sin (45 °) = Vy / 4 und daher Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Andererseits haben wir, dass die Komponente auf der X-Achse des Vektors A gleich ist

cos (45 °) = Vx / 4 und daher Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.