Eigenschaften der Gleichheit

Die Eigenschaften der Gleichheit beziehen sich auf die Beziehung zwischen zwei mathematischen Objekten, entweder Zahlen oder Variablen. Es wird mit dem Symbol «=» gekennzeichnet, das immer zwischen diesen beiden Objekten steht. Mit diesem Ausdruck wird festgelegt, dass zwei mathematische Objekte dasselbe Objekt darstellen. mit einem anderen wort, dass zwei objekte dasselbe sind.

Es gibt Fälle, in denen es trivial ist, Gleichheit anzuwenden. Zum Beispiel ist klar, dass 2 = 2 ist. Wenn es jedoch um Variablen geht, ist es nicht mehr trivial und hat spezifische Verwendungen. Wenn Sie zum Beispiel y = x und andererseits x = 7 haben, können Sie daraus schließen, dass y = 7 ist.

Das vorige Beispiel basiert auf einer der Eigenschaften der Gleichheit, wie in Kürze zu sehen sein wird. Diese Eigenschaften sind unverzichtbar, um Gleichungen (Gleichungen mit Variablen) zu lösen, die einen sehr wichtigen Bestandteil der Mathematik bilden.

Was sind die Eigenschaften von Gleichheit?

Reflektierende Eigenschaft

Die Reflektionseigenschaft im Falle der Gleichheit besagt, dass jede Zahl gleich sich selbst ist und für jede reelle Zahl b als b = b ausgedrückt wird.

Im besonderen Fall der Gleichheit scheint diese Eigenschaft offensichtlich zu sein, in einer anderen Art von Beziehung zwischen Zahlen jedoch nicht. Mit anderen Worten, nicht jede Relation von reellen Zahlen erfüllt diese Eigenschaft. Zum Beispiel ein solcher Fall der Beziehung "kleiner als" (<); Keine Zahl ist kleiner als sie selbst.

Symmetrische Eigenschaft

Die symmetrische Eigenschaft für Gleichheit besagt, dass wenn a = b, dann b = a ist. Unabhängig davon, welche Reihenfolge in den Variablen verwendet wird, wird dies durch die Gleichheitsbeziehung beibehalten.

Eine gewisse Analogie dieser Eigenschaft ist bei der kommutativen Eigenschaft im Additionsfall zu beobachten. Aufgrund dieser Eigenschaft ist es beispielsweise äquivalent, y = 4 oder 4 = y zu schreiben.

Transitives Eigentum

Die transitiven Eigenschaften in Gleichheit besagen, dass wenn a = b und b = c, dann a = c. Zum Beispiel 2 + 7 = 9 und 9 = 6 + 3; daher haben wir nach der transitiven Eigenschaft 2 + 7 = 6 + 3.

Eine einfache Anwendung ist die folgende: Angenommen, Julian ist 14 Jahre alt und Mario ist genauso alt wie Rosa. Wenn Rosa genauso alt ist wie Julian, wie alt ist Mario?

Hinter diesem Szenario wird die transitiven Eigenschaft zweimal verwendet. Mathematisch wird es so interpretiert: Sei "a" Marios Alter, "b" Rosas Alter und "c" Julians Alter. Es ist bekannt, dass b = c und c = 14 ist.

Für die transitiven Eigenschaften gilt b = 14; Rosa ist also 14 Jahre alt. Da a = b und b = 14 sind, haben wir unter erneuter Verwendung der transitiven Eigenschaft a = 14; das heißt, dass Marios Alter ebenfalls 14 Jahre beträgt.

Einheitliches Eigentum

Die einheitliche Eigenschaft ist, dass die Gleichheit erhalten bleibt, wenn beide Seiten einer Gleichheit addiert oder mit demselben Betrag multipliziert werden. Wenn zum Beispiel 2 = 2, dann ist 2 + 3 = 2 + 3, was klar ist, dann 5 = 5. Diese Eigenschaft ist beim Lösen einer Gleichung nützlicher.

Angenommen, Sie werden aufgefordert, die Gleichung x-2 = 1 zu lösen. Es ist zweckmäßig, sich daran zu erinnern, dass das Lösen einer Gleichung darin besteht, die betreffende (n) Variable (n) anhand einer bestimmten Zahl oder einer zuvor angegebenen Variablen explizit zu bestimmen.

Zurückkehrend zu der Gleichung x-2 = 1 muss explizit herausgefunden werden, wie viel x wert ist. Dazu muss die Variable gelöscht werden.

Es wurde fälschlicherweise gelehrt, dass in diesem Fall die Zahl 2 mit einem positiven Vorzeichen auf die andere Seite der Gleichheit übergeht, da sie negativ ist. Aber es ist nicht richtig, es so zu sagen.

Grundsätzlich wird die einheitliche Eigenschaft angewendet, wie wir weiter unten sehen werden. Die Idee ist, "x" zu löschen; das heißt, lassen Sie es auf einer Seite der Gleichung in Ruhe. Üblicherweise wird es auf der linken Seite gelassen.

Zu diesem Zweck ist die Zahl, die Sie "eliminieren" möchten, -2. Der Weg, dies zu tun, würde darin bestehen, 2 zu addieren, da -2 + 2 = 0 und x + 0 = 0. Um dies zu tun, ohne die Gleichheit zu verändern, muss dieselbe Operation auf der anderen Seite angewendet werden.

Dies ermöglicht die Realisierung der einheitlichen Eigenschaft: Wenn als x-2 = 1 die Zahl 2 auf beiden Seiten der Gleichheit hinzugefügt wird, besagt die einheitliche Eigenschaft, dass dieselbe nicht geändert wird. Dann haben wir x-2 + 2 = 1 + 2, was gleichbedeutend ist mit x = 3. Damit wäre die Gleichung gelöst.

Wenn Sie die Gleichung (1/5) y-1 = 9 lösen möchten, können Sie die Eigenschaft uniform folgendermaßen verwenden:

Im Allgemeinen können die folgenden Aussagen gemacht werden:

- Wenn ab = cb, dann ist a = c.

- Wenn xb = y, dann ist x = y + b.

- Wenn (1 / a) z = b, dann ist z = a ×

- Wenn (1 / c) a = (1 / c) b, dann ist a = b.

Stornierungseigenschaft

Das stornierende Vermögen ist ein besonderer Fall des einheitlichen Eigentums, insbesondere unter Berücksichtigung des Falls der Subtraktion und Division (die letztendlich auch der Addition und Multiplikation entsprechen). Diese Eigenschaft behandelt diesen Fall separat.

Wenn zum Beispiel 7 + 2 = 9, dann ist 7 = 9-2. Oder wenn 2y = 6, dann ist y = 3 (dividiert durch zwei auf beiden Seiten).

Analog zum vorherigen Fall können über das Widerrufsrecht folgende Aussagen getroffen werden:

- Wenn a + b = c + b, dann ist a = c.

- Wenn x + b = y, dann ist x = yb.

- Wenn az = b, dann ist z = b / a.

- Wenn ca = cb, dann ist a = b.

Ersatzeigenschaft

Wenn wir den Wert eines mathematischen Objekts kennen, gibt die Substitutionseigenschaft an, dass dieser Wert in jeder Gleichung oder jedem Ausdruck substituiert werden kann. Wenn zum Beispiel b = 5 und a = bx ist und der Wert von "b" in die zweite Gleichheit eingesetzt wird, haben wir a = 5x.

Ein weiteres Beispiel ist das Folgende: Wenn "m" "n" und "n" "m" "dividiert, muss m = n sein.

Zu sagen, dass "m" "n" dividiert (oder äquivalent dazu, dass "m" ein Teiler von "n" ist), bedeutet in der Tat, dass die Division m nicht genau ist; Das heißt, wenn Sie "m" durch "n" teilen, erhalten Sie eine Ganzzahl, keine Dezimalzahl. Dies kann ausgedrückt werden, indem gesagt wird, dass es eine ganze Zahl "k" gibt, so dass m = k × n ist.

Da "n" auch "m" teilt, existiert eine ganze Zahl "p", so dass n = p × m ist. Für die Substitutionseigenschaft haben wir n = p × k × n, und dafür gibt es zwei Möglichkeiten: n = 0, in diesem Fall hätten wir die Identität 0 = 0; op × k = 1, wobei die Identität n = n sein müsste.

Angenommen, "n" ist ungleich Null. Dann ist unbedingt p × k = 1; daher ist p = 1 und k = 1. Unter erneuter Verwendung der Substitutionseigenschaft wird beim Einsetzen von k = 1 in die Gleichheit m = k × n (oder äquivalent p = 1 in n = p × m) schließlich m = n erhalten, was gezeigt werden sollte.

Besitz von Macht in einer Gleichheit

Wie zuvor gesehen, wird eine Operation, die als Summe, Multiplikation, Subtraktion oder Division in beiden Begriffen einer Gleichheit ausgeführt wird, beibehalten, ebenso wie andere Operationen, die eine Gleichheit nicht ändern, angewendet werden können.

Der Schlüssel ist, dies immer auf beiden Seiten der Gleichheit zu tun und im Voraus sicherzustellen, dass die Operation durchgeführt werden kann. Dies ist der Fall der Ermächtigung; Das heißt, wenn beide Seiten einer Gleichung auf dieselbe Potenz angehoben werden, hat sie immer noch eine Gleichheit.

Beispiel: 3 = 3, dann 32 = 32 (9 = 9). Im Allgemeinen ist bei einer Ganzzahl "n", wenn x = y, xn = yn.

Eigenschaft der Wurzel in einer Gleichheit

Dies ist ein besonderer Fall der Potenzierung, der angewendet wird, wenn die Potenz eine nicht ganzzahlige rationale Zahl ist, wie z. B. 1/2, die die Quadratwurzel darstellt. Diese Eigenschaft gibt an, dass die Gleichheit erhalten bleibt, wenn auf beiden Seiten einer Gleichheit dieselbe Wurzel angewendet wird (sofern dies möglich ist).

Im Gegensatz zum vorherigen Fall müssen Sie hier mit der Parität der anzuwendenden Wurzel vorsichtig sein, da bekanntlich das Wurzelpaar einer negativen Zahl nicht genau definiert ist.

Für den Fall, dass das Radikal gerade ist, gibt es kein Problem. Beispiel: Wenn x3 = -8 ist, können Sie beispielsweise keine Quadratwurzel auf beiden Seiten anwenden, obwohl dies eine Gleichheit ist. Wenn Sie jedoch eine Kubikwurzel anwenden können (was noch praktischer ist, wenn Sie den Wert von x explizit kennen möchten), erhalten Sie x = -2.