Diskrete Mathematik: Was sie dienen, Mengenlehre

Die diskrete Mathematik entspricht einem Bereich der Mathematik, der für das Studium der Menge natürlicher Zahlen verantwortlich ist; Das heißt, die Menge der endlichen und unendlichen zählbaren Zahlen, bei denen die Elemente einzeln nacheinander gezählt werden können.

Diese Mengen werden als diskrete Mengen bezeichnet. Ein Beispiel für diese Mengen sind ganze Zahlen, Graphen oder logische Ausdrücke, und sie werden in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft angewendet, hauptsächlich in der Datenverarbeitung oder in der Datenverarbeitung.

Beschreibung

In der diskreten Mathematik sind Prozesse zählbar, basierend auf ganzen Zahlen. Dies bedeutet, dass Dezimalzahlen nicht verwendet werden und daher die Annäherung oder die Grenzen nicht verwendet werden, wie in anderen Bereichen. Ein Unbekannter kann beispielsweise 5 oder 6 sein, aber niemals 4, 99 oder 5, 9.

Auf der anderen Seite sind die Variablen in der grafischen Darstellung diskret und werden aus einer endlichen Menge von Punkten angegeben, die nacheinander gezählt werden, wie im Bild gezeigt:

Die diskrete Mathematik entsteht aus der Notwendigkeit, eine genaue Studie zu erhalten, die kombiniert und getestet werden kann, um sie in verschiedenen Bereichen anzuwenden.

Was nutzt die diskrete Mathematik?

Diskrete Mathematik wird in mehreren Bereichen eingesetzt. Unter den wichtigsten sind die folgenden:

Kombinatorisch

Studieren Sie endliche Mengen, in denen die Elemente sortiert oder kombiniert und gezählt werden können.

Theorie der diskreten Verteilung

Studienereignisse, die in Räumen stattfinden, in denen Proben abzählbar sind, in denen kontinuierliche Verteilungen zur Approximation diskreter Verteilungen verwendet werden, oder in umgekehrter Reihenfolge.

Theorie der Information

Es bezieht sich auf die Codierung von Informationen, die zur Gestaltung und Übertragung und Speicherung von Daten, wie beispielsweise analogen Signalen, verwendet werden.

IT

Durch diskrete Mathematik werden Probleme mithilfe von Algorithmen gelöst und es wird untersucht, was berechnet werden kann und wie lange dies dauert (Komplexität).

Die Bedeutung der diskreten Mathematik in diesem Bereich hat in den letzten Jahrzehnten insbesondere für die Entwicklung von Programmiersprachen und Software zugenommen.

Kryptographie

Es basiert auf diskreter Mathematik, um Sicherheitsstrukturen oder Verschlüsselungsmethoden zu erstellen. Ein Beispiel für diese Anwendung sind Kennwörter, die separat Bits senden, die Informationen enthalten.

Durch die Untersuchung der Eigenschaften von Ganzzahlen und Primzahlen (Zahlentheorie) können diese Sicherheitsmethoden erzeugt oder zerstört werden.

Logik

Es werden diskrete Strukturen verwendet, die üblicherweise eine endliche Menge bilden, um Theoreme zu beweisen oder beispielsweise Software zu verifizieren.

Graphentheorie

Es ermöglicht die Lösung logischer Probleme mithilfe von Knoten und Linien, die eine Art Diagramm bilden, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Es ist ein Bereich, der eng mit der diskreten Mathematik verbunden ist, da die algebraischen Ausdrücke diskret sind. Dadurch werden elektronische Schaltkreise, Prozessoren, Programmierung (Boolesche Algebra) und Datenbanken (relationale Algebra) entwickelt.

Geometrie

Untersuchen Sie die kombinatorischen Eigenschaften geometrischer Objekte, z. B. die Beschichtung der Ebene. Auf der anderen Seite ermöglicht es die Computergeometrie, geometrische Probleme durch Anwendung von Algorithmen zu entwickeln.

Theorie der Mengen

In der diskreten Mathematik sind Mengen (endlich und unendlich numerierbar) das Hauptziel des Studiums. Die Mengenlehre wurde von George Cantor veröffentlicht, der zeigte, dass alle unendlichen Mengen dieselbe Größe haben.

Eine Menge ist eine Gruppierung von Elementen (Zahlen, Dinge, Tiere und Menschen unter anderem), die genau definiert sind. das heißt, es gibt eine Beziehung, nach der jedes Element zu einer Menge gehört und zum Beispiel zu ∈ A ausgedrückt wird.

In der Mathematik gibt es verschiedene Mengen, die bestimmte Zahlen nach ihren Merkmalen gruppieren. So haben Sie zum Beispiel:

- Menge natürlicher Zahlen N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Ganzzahlensatz E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Teilmenge der rationalen Zahlen Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Menge reeller Zahlen R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Die Sätze sind mit Buchstaben des Alphabets in Großbuchstaben benannt. Während die Elemente in Kleinbuchstaben, in geschweiften Klammern ({}) und durch Kommas (, ) getrennt sind. Sie werden in der Regel in Diagrammen wie Venn und Caroll sowie rechnerisch dargestellt.

Bei grundlegenden Operationen wie Vereinigung, Schnittmenge, Ergänzung, Differenz und kartesischem Produkt werden die Mengen und ihre Elemente auf der Grundlage der Zugehörigkeitsrelation verwaltet.

Es gibt verschiedene Arten von Mengen, von denen die meisten in der diskreten Mathematik studiert wurden:

Endliche Menge

Es ist eines, das eine endliche Anzahl von Elementen hat und einer natürlichen Zahl entspricht. So ist beispielsweise A = {1, 2, 3, 4} eine endliche Menge mit 4 Elementen.

Unendliche Abrechnungsmenge

Es ist diejenige, in der es eine Entsprechung zwischen den Elementen einer Menge und den natürlichen Zahlen gibt; das heißt, dass von einem Element alle Elemente einer Menge nacheinander aufgelistet werden können.

Auf diese Weise entspricht jedes Element jedem Element der Menge natürlicher Zahlen. Zum Beispiel:

Die Menge der Ganzzahlen Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} kann als Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...} aufgeführt werden. Auf diese Weise ist es möglich, eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Elementen von Z und den natürlichen Zahlen herzustellen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Es handelt sich um eine Methode zur Lösung kontinuierlicher Probleme (Modelle und Gleichungen), die in diskrete Probleme umgewandelt werden müssen, wobei die Lösung mit der Annäherung an die Lösung des kontinuierlichen Problems bekannt ist.

Anders gesehen versucht die Diskretisierung, eine endliche Menge aus einer unendlichen Menge von Punkten zu extrahieren. Auf diese Weise wird eine kontinuierliche Einheit in einzelne Einheiten umgewandelt.

Im Allgemeinen wird diese Methode in der numerischen Analyse, wie zum Beispiel bei der Lösung einer Differentialgleichung, mittels einer Funktion verwendet, die durch eine endliche Datenmenge in ihrem Bereich dargestellt wird, selbst wenn sie kontinuierlich ist.

Ein weiteres Beispiel für die Diskretisierung ist die Umwandlung eines analogen Signals in ein digitales Signal, wenn fortlaufende Signaleinheiten in einzelne Einheiten umgewandelt (diskretisiert) und dann codiert und quantisiert werden, um ein digitales Signal zu erhalten.