Homothety: Eigenschaften, Typen und Beispiele

Die Homothetik ist eine geometrische Änderung in der Ebene, bei der die Abstände von einem festen Punkt, der als Mittelpunkt (O) bezeichnet wird, mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden. Auf diese Weise entspricht jeder Punkt P einem anderen Punkt P 'Produkt der Transformation, und diese sind mit dem Punkt O ausgerichtet.

Dann ist die Homothetik eine Entsprechung zwischen zwei geometrischen Figuren, wobei die transformierten Punkte homothetisch genannt werden und diese mit einem festen Punkt und mit zueinander parallelen Segmenten ausgerichtet sind.

Homothety

Die Homothetik ist eine Transformation, die kein kongruentes Bild aufweist, weil aus einer Figur eine oder mehrere Figuren erhalten werden, die größer oder kleiner als die ursprüngliche Figur sind; das heißt, dass die Homothetik ein Polygon in ein anderes ähnliches verwandelt.

Damit die Homothetik erfüllt wird, müssen sie Punkt zu Punkt und gerade zu gerade korrespondieren, so dass die homologen Punktpaare auf einen dritten festen Punkt ausgerichtet sind, der das Zentrum der Homothetik darstellt.

Ebenso müssen die Linienpaare, die sie verbinden, parallel sein. Die Beziehung zwischen solchen Segmenten ist eine Konstante, die Homothetizitätsverhältnis (k) genannt wird; so, dass die Homothetik definiert werden kann als:

Um diese Art der Transformation durchzuführen, wählen wir zunächst einen beliebigen Punkt, der das Zentrum der Homothetik sein wird.

Ab diesem Punkt werden Liniensegmente für jeden Scheitelpunkt der zu transformierenden Figur gezeichnet. Der Maßstab, auf dem die Reproduktion der neuen Figur erfolgt, ergibt sich aus dem Verhältnis der Homothetik (k).

Eigenschaften

Eine der Haupteigenschaften der Homothetik ist, dass aus Gründen der Homothetik (k) alle homothetischen Figuren ähnlich sind. Weitere herausragende Eigenschaften sind:

- Das Zentrum der Homothetik (O) ist der einzige doppelte Punkt und dieser wird zu sich selbst; das heißt, es ändert sich nicht.

- Die Linien, die durch das Zentrum verlaufen, transformieren sich selbst (sie sind doppelt), aber die Punkte, aus denen sie bestehen, sind nicht doppelt.

- Linien, die nicht durch die Mitte verlaufen, werden in parallele Linien umgewandelt. auf diese Weise bleiben die Winkel der Homothetik gleich.

- Das Bild eines Segments durch eine Homothetik von Zentrum O und Verhältnis k ist ein dazu paralleles Segment und hat die k-fache Länge. Wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist, ergibt ein Segment AB durch Homothese ein anderes Segment A'B ', so dass AB parallel zu A'B' und k ist:

- Homothetische Winkel sind kongruent; das heißt, sie haben das gleiche Maß. Daher ist das Bild eines Winkels ein Winkel mit derselben Amplitude.

Andererseits variiert die Homothetik in Abhängigkeit von dem Wert ihres Verhältnisses (k), und die folgenden Fälle können auftreten:

- Wenn die Konstante k = 1 ist, sind alle Punkte fest, weil sie sich selbst transformieren. Somit fällt die homothetische Figur mit dem Original zusammen und die Transformation wird Identitätsfunktion genannt.

- Wenn k ≠ 1 ist, ist der einzige feste Punkt das Zentrum der Homothetik (O).

- Wenn k = -1, wird die Homothetik eine zentrale Symmetrie (C); Dies bedeutet, dass eine Drehung um C in einem Winkel von 180 ° erfolgt.

- Wenn k> 1 ist, ist die Größe der transformierten Figur größer als die Größe des Originals.

- Wenn 0 <k <1 ist, ist die Größe der transformierten Figur kleiner als die des Originals.

- Wenn -1 <k <0 ist, ist die Größe der transformierten Figur kleiner und wird gegenüber dem Original gedreht.

- Wenn k <-1 ist, wird die transformierte Figur größer und gegenüber dem Original gedreht.

Typen

Die Homothetik kann in Abhängigkeit von dem Wert ihres Verhältnisses (k) auch in zwei Typen eingeteilt werden:

Direkte Übereinstimmung

Es passiert, wenn die Konstante k> 0 ist; Das heißt, die homothetischen Punkte befinden sich in Bezug auf das Zentrum auf derselben Seite:

Der Proportionalitätsfaktor oder das Verhältnis der Ähnlichkeit zwischen direkten homothetischen Zahlen ist immer positiv.

Umgekehrte Homothese

Es passiert, wenn die Konstante k <0 ist; Das heißt, die Anfangspunkte und ihre homothetischen Punkte befinden sich in Bezug auf das Zentrum der Homothetik an den entgegengesetzten Enden, sind jedoch darauf ausgerichtet. Das Zentrum wird zwischen den beiden Figuren liegen:

Der Proportionalitätsfaktor oder das Ähnlichkeitsverhältnis zwischen den homothetischen inversen Zahlen ist immer negativ.

Zusammensetzung

Wenn mehrere Bewegungen nacheinander ausgeführt werden, bis eine Figur erreicht ist, die dem Original entspricht, entsteht eine Bewegungskomposition. Die Komposition mehrerer Sätze ist ebenfalls ein Satz.

Die Komposition zwischen zwei Homothecien führt zu einer neuen Homothecia; Das heißt, wir haben ein homothetisches Produkt, bei dem das Zentrum mit dem Zentrum der beiden ursprünglichen Transformationen ausgerichtet ist und das Verhältnis (k) das Produkt der beiden Gründe ist.

Bei der Zusammensetzung von zwei Homothetien H 1 (O 1, k 1 ) und H 2 (O 2, k 2 ) ergibt die Multiplikation ihrer Verhältnisse: k 1 × k 2 = 1 eine Homothetie mit dem Verhältnis k 3 = k 1 x k 2 Das Zentrum dieser neuen Heimat (O 3 ) wird auf der Linie O 1 O 2 liegen .

Die Homothetik entspricht einer flachen und irreversiblen Veränderung; Wenn zwei Homothezen angewendet werden, die den gleichen Mittelpunkt und das gleiche Verhältnis haben, aber ein anderes Vorzeichen haben, wird die ursprüngliche Figur erhalten.

Beispiele

Erstes Beispiel

Wenden Sie eine Homothetik auf das gegebene mittlere Polygon (O) an, das 5 cm von Punkt A entfernt liegt und dessen Verhältnis k = 0, 7 ist.

Lösung

Jeder Punkt wird als Mittelpunkt der Homothetik gewählt und von diesem Strahl durch die Eckpunkte der Figur gezogen:

Der Abstand vom Zentrum (O) zum Punkt A beträgt OA = 5; Damit können Sie den Abstand eines der homothetischen Punkte (OA ') bestimmen, wobei Sie auch wissen, dass k = 0, 7 ist:

OA '= kx OA.

OA '= 0, 7 × 5 = 3, 5.

Der Vorgang kann für jeden Scheitelpunkt durchgeführt werden, oder Sie können auch das homothetische Polygon zeichnen und dabei berücksichtigen, dass die beiden Polygone parallele Seiten haben:

Schließlich sieht die Transformation so aus:

Zweites Beispiel

Wenden Sie eine Homothetik auf das gegebene zentrale Polygon (O) an, das sich 8, 5 cm vom Punkt C entfernt befindet und dessen y-Verhältnis k = -2 ist.

Lösung

Der Abstand vom Zentrum (O) zum Punkt C beträgt OC = 8, 5; Mit diesen Daten ist es möglich, den Abstand eines der homothetischen Punkte (OC ') zu bestimmen, wobei man auch weiß, dass k = -2 ist:

OC '= kx OC.

OC '= -2 · 8, 5 = -17

Nach dem Zeichnen der Scheitelpunktsegmente des transformierten Polygons befinden sich die Anfangspunkte und ihre Homothetik in Bezug auf das Zentrum an den entgegengesetzten Enden: