Potentielle Steigung: Eigenschaften, Berechnungsweise und Beispiel

Der Potentialgradient ist ein Vektor, der die Änderungsrelation des elektrischen Potentials in Bezug auf den Abstand in jeder Achse eines kartesischen Koordinatensystems darstellt. Somit gibt der Potentialgradientenvektor die Richtung an, in der die Änderungsrate des elektrischen Potentials als Funktion der Entfernung größer ist.

Das Potentialgradientenmodul spiegelt seinerseits die Änderungsrate der elektrischen Potentialänderung in einer bestimmten Richtung wider. Ist der Wert an jedem Punkt eines Raumbereichs bekannt, so kann das elektrische Feld aus dem Potentialgradienten gewonnen werden.

Das elektrische Feld ist definiert als ein Vektor, mit dem es eine bestimmte Richtung und Größe hat. Indem die Richtung bestimmt wird, in der das elektrische Potential schneller abnimmt, wenn es sich vom Referenzpunkt wegbewegt, und dieser Wert durch die zurückgelegte Strecke dividiert wird, wird die Größe des elektrischen Feldes erhalten.

Eigenschaften

Der Potentialgradient ist ein durch bestimmte Raumkoordinaten begrenzter Vektor, der die Änderungsrelation zwischen dem elektrischen Potential und der von diesem Potential zurückgelegten Strecke mißt.

Die herausragendsten Eigenschaften des elektrischen Potentialgradienten sind nachstehend aufgeführt:

1- Der potentielle Gradient ist ein Vektor. Daher hat es eine bestimmte Größe und Richtung.

2- Da der Potentialgradient ein Vektor im Raum ist, hat er in den Achsen X (Breite), Y (Hoch) und Z (Tiefe) adressierte Größen, wenn das kartesische Koordinatensystem als Referenz verwendet wird.

3- Dieser Vektor steht senkrecht zur Äquipotentialfläche an dem Punkt, an dem das elektrische Potential ausgewertet wird.

4- Der Potentialgradientenvektor ist auf die Richtung der maximalen Änderung der elektrischen Potentialfunktion an einem beliebigen Punkt gerichtet.

5- Das Modul des Potentialgradienten ist gleich dem aus der elektrischen Potentialfunktion abgeleiteten Modul in Bezug auf die zurückgelegte Strecke in Richtung jeder der Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

6- Der Potentialgradient hat in den stationären Punkten (Maximum, Minimum und Sattelpunkte) den Wert Null.

7- In dem internationalen Einheitensystem (SI) sind die Maßeinheiten des Potentialgradienten Volt / Meter.

8- Die Richtung des elektrischen Feldes ist dieselbe, in der das elektrische Potential seine Größe schneller verringert. Der Potentialgradient zeigt wiederum in die Richtung, in der das Potential seinen Wert in Bezug auf eine Positionsänderung erhöht. Dann hat das elektrische Feld den gleichen Wert des Potentialgradienten, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.

Wie berechne ich es?

Die elektrische Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten (Punkt 1 und Punkt 2) ergibt sich aus dem folgenden Ausdruck:

Wo:

V1: elektrisches Potential in Punkt 1.

V2: elektrisches Potential in Punkt 2.

E: Größe des elektrischen Feldes.

Ѳ: Winkel der Neigung des elektrischen Feldvektors gemessen in Bezug auf das Koordinatensystem.

Indem man die Formel differenziell ausdrückt, erhält man folgende Schlussfolgerung:

Der Faktor E * cos (Ѳ) bezieht sich auf den Modul der elektrischen Feldkomponente in Richtung von dl. Sei L die horizontale Achse der Referenzebene, dann ist cos (Ѳ) = 1, wie folgt:

Der Quotient zwischen der Änderung des elektrischen Potentials (dV) und der Änderung der zurückgelegten Strecke (ds) ist im folgenden der Modul des Potentialgradienten für diese Komponente.

Daraus folgt, dass die Größe des elektrischen Potentialgradienten gleich der elektrischen Feldkomponente in Studienrichtung ist, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.

Da die reale Umgebung jedoch dreidimensional ist, muss der potenzielle Gradient an einem bestimmten Punkt als die Summe von drei räumlichen Komponenten auf der X-, Y- und Z-Achse des kartesischen Systems ausgedrückt werden.

Indem wir den elektrischen Feldvektor in seine drei rechteckigen Komponenten aufteilen, erhalten wir Folgendes:

Wenn es einen Bereich in der Ebene gibt, in dem das elektrische Potential den gleichen Wert hat, ist die partielle Ableitung dieses Parameters in Bezug auf jede der kartesischen Koordinaten Null.

In Punkten, die sich auf Äquipotentialflächen befinden, hat die Intensität des elektrischen Feldes daher die Größe Null.

Schließlich kann der potentielle Gradientenvektor als genau derselbe elektrische Feldvektor (in der Größe) mit entgegengesetztem Vorzeichen definiert werden. Wir haben also folgendes:

Beispiel

Aus den obigen Berechnungen müssen Sie:

Bevor jedoch das elektrische Feld als Funktion des Potentialgradienten oder umgekehrt bestimmt wird, muss zunächst die Richtung bestimmt werden, in der die elektrische Potentialdifferenz wächst.

Danach wird der Quotient aus der Änderung des elektrischen Potentials und der Änderung der zurückgelegten Nettodistanz bestimmt.

Auf diese Weise wird die Größe des zugehörigen elektrischen Feldes erhalten, die gleich der Größe des Potentialgradienten in dieser Koordinate ist.

Übung

Es gibt zwei parallele Platten, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Schritt 1

Die Wachstumsrichtung des elektrischen Feldes auf dem kartesischen Koordinatensystem wird bestimmt.

Das elektrische Feld wächst aufgrund der Anordnung der parallelen Platten nur in horizontaler Richtung. Folglich ist es möglich, zu schließen, dass die Komponenten des Potentialgradienten auf der Y-Achse und der Z-Achse Null sind.

Schritt 2

Die Daten von Interesse werden unterschieden.

- Potentialdifferenz: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Entfernungsunterschied: dx = 10 cm.

Um die Übereinstimmung der nach dem Internationalen Einheitensystem verwendeten Maßeinheiten zu gewährleisten, müssen die nicht in SI ausgedrückten Mengen entsprechend umgerechnet werden. 10 Zentimeter entsprechen also 0, 1 Metern, und schließlich gilt: dx = 0, 1 Meter.