Gleichschenkliges Dreieck: Eigenschaften, Formel und Fläche, Berechnung

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten, von denen zwei dasselbe Maß und die dritte Seite ein unterschiedliches Maß haben. Diese letzte Seite heißt Basis. Aufgrund dieser Eigenschaft erhielt es diesen Namen, der auf Griechisch "gleiche Beine" bedeutet.

Dreiecke sind Polygone, die als die einfachsten in der Geometrie angesehen werden, da sie aus drei Seiten, drei Winkeln und drei Eckpunkten bestehen. Es sind diejenigen, die die geringste Anzahl von Seiten und Winkeln in Bezug auf die anderen Polygone haben, jedoch ist ihre Verwendung sehr umfangreich.

Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Das gleichschenklige Dreieck wurde anhand des Maßes seiner Seiten als Parameter klassifiziert, da zwei seiner Seiten kongruent sind (sie haben die gleiche Länge).

Entsprechend der Amplitude der Innenwinkel werden die gleichschenkligen Dreiecke wie folgt klassifiziert:

Rechteckiges gleichschenkliges Dreieck : Zwei seiner Seiten sind gleich. Einer der Winkel ist gerade (90o) und die anderen sind gleich (je 45o)
Oboskel-Dreieck gleichschenklig : Zwei seiner Seiten sind gleich. Einer der Winkel ist stumpf (> 90o).
Gleichschenkliges spitzes Dreieck : zwei seiner Seiten sind gleich. Alle Winkel sind spitz (<90o), wobei zwei das gleiche Maß haben.

Komponenten

Der Median ist eine Linie, die vom Mittelpunkt einer Seite ausgeht und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt erreicht. Die drei Mediane treffen sich an einem Punkt, der als Schwerpunkt oder Schwerpunkt bezeichnet wird.
Die Winkelhalbierende : ist ein Strahl, der den Winkel jedes Scheitelpunkts in zwei gleich große Winkel unterteilt. Aus diesem Grund wird es als Symmetrieachse bezeichnet und diese Art von Dreiecken hat nur eine.
Die senkrechte Winkelhalbierende : ist ein Segment senkrecht zur Seite des Dreiecks, das in der Mitte dieses Dreiecks entsteht. Es gibt drei Mediate in einem Dreieck und sie stimmen in einem Punkt überein, der als Circumcenter bezeichnet wird.
Die Höhe : ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite verläuft, und auch diese Linie verläuft senkrecht zu dieser Seite. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt, der als Orthozentrum bezeichnet wird, zusammenfallen.

Eigenschaften

Gleichschenklige Dreiecke werden definiert oder identifiziert, weil sie verschiedene Eigenschaften aufweisen, die sie repräsentieren. Diese stammen aus den Theoremen, die von großen Mathematikern vorgeschlagen wurden:

Innenwinkel

Die Summe der Innenwinkel ist immer gleich 180o.

Summe der Seiten

Die Summe der Maße zweier Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, a + b> c.

Kongruente Seiten

Gleichschenklige Dreiecke haben zwei Seiten mit dem gleichen Maß oder der gleichen Länge; Das heißt, sie sind kongruent und die dritte Seite unterscheidet sich von diesen.

Kongruente Winkel

Gleichschenklige Dreiecke werden auch als Isowinkel-Dreiecke bezeichnet, da sie zwei Winkel mit dem gleichen Maß (Kongruenzen) haben. Diese befinden sich an der Basis des Dreiecks gegenüber den Seiten mit der gleichen Länge.

Aus diesem Grund lautet der Satz, der Folgendes festlegt:

"Wenn ein Dreieck zwei kongruente Seiten hat, sind auch die Winkel gegenüber diesen Seiten kongruent." Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, sind daher die Winkel seiner Basen kongruent.

Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt ein Dreieck ABC. Indem die Winkelhalbierende vom Scheitelpunkt des Winkels B zur Basis gezogen wird, wird das Dreieck in zwei Dreiecke geteilt, die BDA und BDC entsprechen:

Somit wurde der Winkel des Scheitelpunkts B auch in zwei gleiche Winkel geteilt. Die Winkelhalbierende ist jetzt die Seite (BD), die zwischen diesen beiden neuen Dreiecken gemeinsam ist, während die Seiten AB und BC die kongruenten Seiten sind. Dies ist der Fall der Kongruenz Seite, Winkel, Seite (LAL).

Dies zeigt, dass die Winkel der Eckpunkte A und C dasselbe Maß haben, wie auch gezeigt werden kann, dass die AD- und DC-Seiten kongruent sind, da die Dreiecke BDA und BDC kongruent sind.

Höhe, Median, Bisektor und Bisektor fallen zusammen

Die Linie, die vom Scheitelpunkt gegenüber der Basis zum Mittelpunkt der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gezogen wird, ist gleichzeitig die Höhe, der Median und die Halbierende sowie die Halbierende relativ zum entgegengesetzten Winkel der Basis.

Alle diese Segmente fallen in einem zusammen, der sie repräsentiert.

Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt das Dreieck ABC mit einem Mittelpunkt M, der die Basis in zwei Segmente BM und CM unterteilt.

Wenn Sie ein Segment vom Punkt M zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt zeichnen, erhalten Sie per Definition den Median AM, der relativ zum Scheitelpunkt A und zur Seite BC ist.

Da das AM-Segment das Dreieck ABC in zwei gleiche Dreiecke AMB und AMC unterteilt, bedeutet dies, dass der Fall von Seiten-, Winkel- und Seitenkongruenz vorliegt und daher AM auch die Halbierende von BC ist.

Deshalb ist die Halbierende immer gleich dem Median und umgekehrt.

Das AM-Segment bildet Winkel, die für das AMB- und das AMC-Dreieck dasselbe Maß haben. das heißt, sie sind so ergänzend, dass das Maß eines jeden sein wird:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180

2 _* Med. (AMC) = 180 °

Med. (AMC) = 180º ≤ 2

Med. (AMC) = 90

Es kann bekannt sein, dass die Winkel, die das AM-Segment in Bezug auf die Basis des Dreiecks bildet, gerade sind, was anzeigt, dass dieses Segment vollständig senkrecht zur Basis ist.

Daher stellt es die Höhe und die Halbierende dar, in dem Wissen, dass M der Mittelpunkt ist.

Daher die Gerade AM:

Es repräsentiert die Höhe von BC.
Es ist mittelgroß.
Es ist in der Mittlerin von BC enthalten.
Es ist die Winkelhalbierende des Scheitelpunktwinkels

Relative Höhen

Die Höhen, die relativ zu den gleichen Seiten sind, haben auch das gleiche Maß.

Da das gleichschenklige Dreieck zwei gleiche Seiten hat, sind auch ihre beiden jeweiligen Höhen gleich.

Orthocenter, Barycenter, Incenter und Circumcenter fallen zusammen

Da die Höhe, der Median, die Bisektor und die Bisektor in Bezug auf die Basis gleichzeitig durch dasselbe Segment dargestellt werden, sind das Orthozentrum, das zentrozentrische Inzentrum und das Umfangszentrum kollineare Punkte, dh sie befinden sich auf derselben Linie:

Wie berechnet man den Umfang?

Der Umfang eines Polygons wird durch die Summe der Seiten berechnet.

Da in diesem Fall das gleichschenklige Dreieck zwei Seiten mit dem gleichen Maß hat, wird sein Umfang mit der folgenden Formel berechnet:

P = 2 _* (Seite a) + (Seite b).

Wie berechne ich die Höhe?

Die Höhe ist die Linie senkrecht zur Basis, die das Dreieck in zwei gleiche Teile teilt, indem sie sich zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt erstreckt.

Die Höhe steht für das gegenüberliegende Bein (a), die Hälfte der Basis (b / 2) für das benachbarte Bein und die "a" -Seite für die Hypotenuse.

Mit dem Satz von Pythagoras können Sie den Wert der Höhe bestimmen:

a2 + b 2 = c 2

Wo:

a 2 = Höhe (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = Seite a.

Setzen Sie diese Werte in den Satz von Pythagoras ein und löschen Sie die Höhe, die wir haben:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Ist der von den kongruenten Seiten gebildete Winkel bekannt, kann die Höhe mit folgender Formel berechnet werden:

Wie berechnet man die Fläche?

Die Fläche der Dreiecke wird immer mit der gleichen Formel berechnet, wobei die Basis mit der Höhe multipliziert und durch zwei geteilt wird:

Es gibt Fälle, in denen nur die Maße von zwei Seiten des Dreiecks und der zwischen ihnen gebildete Winkel bekannt sind. In diesem Fall müssen zur Bestimmung der Fläche die trigonometrischen Verhältnisse angewendet werden:

Wie berechnet man die Basis des Dreiecks?

Da das gleichschenklige Dreieck zwei gleiche Seiten hat, ist es zur Bestimmung des Wertes seiner Basis erforderlich, mindestens das Maß der Höhe oder einen seiner Winkel zu kennen.

In Kenntnis der Höhe wird der Satz von Pythagoras verwendet:

a2 + b2 = c2

Wo:

a2 = Höhe (h).

c2 = Seite a.

b2 = b / 2 ist unbekannt.

Wir löschen b2 von der Formel und müssen:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Da dieser Wert der Hälfte der Basis entspricht, muss er mit zwei multipliziert werden, um das vollständige Maß der Basis des gleichschenkligen Dreiecks zu erhalten:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

Für den Fall, dass nur der Wert ihrer gleichen Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, wird Trigonometrie angewendet, wobei eine Linie vom Scheitelpunkt zur Basis gezogen wird, die das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt.

Auf diese Weise wird die Hälfte der Basis berechnet mit:

Es ist auch möglich, dass nur der Wert der Höhe und des Winkels des Scheitelpunkts bekannt ist, der der Basis gegenüberliegt. In diesem Fall könnte die Base durch Trigonometrie bestimmt werden:

Übungen

Erste Übung

Finden Sie die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ABC, wobei Sie wissen, dass zwei seiner Seiten 10 cm und die dritte Seite 12 cm misst.

Lösung

Um die Fläche des Dreiecks zu finden, muss die Höhe mit der Formel der Fläche berechnet werden, die mit dem Satz von Pythagoras zusammenhängt, da der Wert des Winkels, der zwischen den gleichen Seiten gebildet wird, nicht bekannt ist.

Wir haben die folgenden Daten des gleichschenkligen Dreiecks:

Gleiche Seiten (a) = 10 cm.
Basis (b) = 12 cm.

Die Werte in der Formel werden ersetzt:

Zweite Übung

Die Länge der beiden gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 42 cm, wobei die Vereinigung dieser Seiten einen Winkel von 130º bildet. Bestimmen Sie den Wert der dritten Seite, die Fläche des Dreiecks und den Umfang.

Lösung

In diesem Fall sind die Maße der Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt.

Um den Wert der fehlenden Seite, dh der Basis dieses Dreiecks, zu ermitteln, zeichnen wir eine senkrechte Linie, die den Winkel in zwei gleiche Teile unterteilt, einen für jedes gebildete rechtwinklige Dreieck.

Gleiche Seiten (a) = 42 cm.
Winkel (Ɵ) = 130º

Durch Trigonometrie wird nun der Wert der Basenhälfte berechnet, der der Hälfte der Hypotenuse entspricht:

Um die Fläche zu berechnen, muss die Höhe des Dreiecks bekannt sein, die durch Trigonometrie oder durch den Satz des Pythagoras berechnet werden kann, nachdem der Wert der Basis bereits bestimmt wurde.

Durch Trigonometrie wird es sein: