Klassifikation von reellen Zahlen

Die Hauptklassifikation von reellen Zahlen ist in natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen unterteilt. Die reellen Zahlen sind mit dem Buchstaben R dargestellt.

Es gibt viele Möglichkeiten, wie verschiedene reelle Zahlen konstruiert oder beschrieben werden können, von einfacheren bis hin zu komplexeren, je nachdem, welche mathematische Arbeit Sie ausführen möchten.

Wie werden reelle Zahlen klassifiziert?

Natürliche Zahlen

Dies sind die Zahlen, die zum Zählen verwendet werden, z. B. "Es sind vier Blumen im Glas".

Einige Definitionen beginnen die natürlichen Zahlen mit 0, während andere Definitionen mit 1 beginnen. Die natürlichen Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen verwendet werden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... etc; Sie werden als Ordnungs- oder Kardinalzahlen verwendet.

Natürliche Zahlen sind die Basen, auf denen viele andere Mengen von Zahlen durch Erweiterung konstruiert werden können: unter anderem ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen.

Diese Verlängerungsketten bilden die natürlichen Zahlen, die kanonisch in den anderen Zahlensystemen identifiziert werden.

Die Eigenschaften natürlicher Zahlen wie Teilbarkeit und Verteilung von Primärzahlen werden in der Zahlentheorie untersucht.

Die mit dem Zählen und Ordnen verbundenen Probleme wie Aufzählungen und Partitionierungen werden in der Kombinatorik untersucht.

Im allgemeinen Sprachgebrauch können wie in Grundschulen natürliche Zahlen als zählbare Zahlen bezeichnet werden, um negative ganze Zahlen und Nullen auszuschließen.

Sie haben verschiedene Eigenschaften wie: Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division usw.

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind Zahlen, die ohne Bruchkomponente geschrieben werden können. Zum Beispiel: 21, 4, 0, -76 usw. Andererseits sind Zahlen wie 8.58 oder √2 keine ganzen Zahlen.

Es kann gesagt werden, dass ganze Zahlen vollständige Zahlen sind, zusammen mit negativen Zahlen natürlicher Zahlen. Sie werden verwendet, um geschuldetes Geld auszudrücken, Tiefen im Verhältnis zum Meeresspiegel oder zu Temperaturen unter Null, um nur einige Verwendungen zu nennen.

Eine Menge von Ganzzahlen besteht aus Null (0), positiven natürlichen Zahlen (1, 2, 3 ...) und negativen Ganzzahlen (-1, -2, -3 ...). Im Allgemeinen wird dies mit einem ZZ oder mit einem fetten Z (Z) bezeichnet.

Z ist eine Teilmenge der Gruppe der rationalen Zahlen Q, die wiederum die Gruppe der reellen Zahlen R bilden. Wie natürliche Zahlen ist Z eine unendlich zählbare Gruppe.

Ganze Zahlen bilden die kleinste Gruppe und die kleinste Menge natürlicher Zahlen. In der Theorie der algebraischen Zahlen werden Ganzzahlen manchmal als irrationale Ganzzahlen bezeichnet, um sie von algebraischen Ganzzahlen zu unterscheiden.

Rationale Zahlen

Eine rationale Zahl ist eine beliebige Zahl, die als Komponente oder Bruchteil von zwei ganzen Zahlen p / q, einem Zähler p und einem Nenner q ausgedrückt werden kann. Da q gleich 1 sein kann, ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl.

Die Menge der rationalen Zahlen, die oft als "die Rationalen" bezeichnet werden, wird mit einem Q bezeichnet.

Die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl endet immer nach einer endlichen Anzahl von Ziffern oder wenn dieselbe endliche Folge von Ziffern immer wieder wiederholt wird.

Jede wiederholte oder terminale Dezimalstelle steht außerdem für eine rationale Zahl. Diese Aussagen gelten nicht nur für die Basis 10, sondern auch für jede andere ganzzahlige Basis.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, heißt irrational. Irrationale Zahlen umfassen beispielsweise √2, aπ und e. Da die gesamte Menge der bewertbaren Zahlen zählbar ist und die Gruppe der reellen Zahlen nicht zählbar ist, kann gesagt werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.

Die rationalen Zahlen können formal als Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen (p, q) definiert werden, so dass q ≠ 0 oder die durch (p1, q1) (p2, q2) definierte äquivalente Beziehung nur dann gilt, wenn p1, q2 = p2q1.

Rationale Zahlen bilden zusammen mit Addition und Multiplikation Felder, die ganze Zahlen bilden und in jedem Zweig enthalten sind, der ganze Zahlen enthält.

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind. Irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden. Die rationalen Zahlen sind die Zahlen, die sich aus Brüchen ganzer Zahlen zusammensetzen.

Als Konsequenz von Cantors Beweis, dass alle reellen Zahlen unzählbar und alle rationalen Zahlen zählbar sind, kann gefolgert werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.

Wenn der Längenradius von zwei Liniensegmenten eine irrationale Zahl ist, kann gesagt werden, dass diese Liniensegmente nicht vergleichbar sind; was bedeutet, dass es keine ausreichende Länge gibt, so dass jede von ihnen mit einem bestimmten Vielfachen davon "gemessen" werden könnte.

Zu den irrationalen Zahlen gehören der Radius π eines Kreisumfangs zu seinem Durchmesser, die Zahl von Euler (e), die goldene Zahl (φ) und die Quadratwurzel von zwei; Darüber hinaus sind alle Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen irrational. Die einzige Ausnahme von dieser Regel sind die perfekten Quadrate.

Es ist zu beobachten, dass irrationale Zahlen, die in einem Zahlensystem (z. B. in Dezimalzahlen) positionsmäßig ausgedrückt werden, nicht enden oder wiederholt werden.

Dies bedeutet, dass sie keine Ziffernfolge enthalten, die Wiederholung, mit der eine Repräsentationslinie erstellt wird.

Beispiel: Die Dezimaldarstellung der Zahl π beginnt mit 3.14159265358979, es gibt jedoch keine endliche Anzahl von Stellen, die π genau darstellen können, und sie können auch nicht wiederholt werden.

Der Beweis, dass die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl enden oder wiederholt werden muss, unterscheidet sich von dem Beweis, dass eine Dezimalerweiterung eine rationale Zahl sein muss. Obwohl grundlegend und etwas lang, erfordern diese Tests einige Arbeit.

Normalerweise verstehen Mathematiker den Begriff des "Endens oder Wiederholens" nicht als Definition des Begriffs einer rationalen Zahl.

Irrationale Zahlen können auch über nicht kontinuierliche Brüche behandelt werden.