Was ist ein Vektor und welche Eigenschaften hat er?
Ein Vektor ist eine Größe oder ein Phänomen mit zwei unabhängigen Eigenschaften: Größe und Richtung. Der Begriff bezeichnet auch die mathematische oder geometrische Darstellung einer solchen Größe.
Beispiele für Vektoren in der Natur sind Geschwindigkeit, Kraft, elektromagnetische Felder und Gewicht. Eine Größe oder ein Phänomen, das nur die Größe ohne bestimmte Richtung anzeigt, wird Skalar genannt.
Beispiele für Skalare sind Geschwindigkeit, Masse, elektrischer Widerstand und Festplattenspeicherkapazität.
Vektoren können grafisch in zwei oder drei Dimensionen dargestellt werden. Die Größe wird als Länge eines Segments angezeigt. Die Richtung wird durch die Ausrichtung des Segments und durch einen Pfeil an einem Ende angezeigt.
Die obige Abbildung zeigt drei Vektoren in zweidimensionalen rechteckigen Koordinaten (der kartesischen Ebene) und ihre Äquivalente in Polarkoordinaten.
Die Vektoren in der Physik
Wenn Sie in der Physik einen Vektor haben, müssen Sie zwei Größen berücksichtigen: seine Richtung und seine Größe. Größen, die nur eine Größe haben, werden Skalare genannt. Wenn einer skalaren Größe eine Richtung zugewiesen wird, wird ein Vektor erstellt.
Vektoren werden visuell als Pfeile gesehen, was perfekt ist, da ein Pfeil eine klare Richtung und eine klare Größe hat (die Länge des Pfeils).
In der folgenden Abbildung stellt der Pfeil einen Vektor dar, der am Fuß des Pfeils beginnt (auch Schwanz genannt) und am Kopf endet.
In der Physik wird normalerweise eine fette Schrift verwendet, um einen Vektor darzustellen. Sie kann jedoch auch als Buchstabe mit einem Pfeil darauf dargestellt werden.
Der Pfeil bedeutet, dass es sich nicht nur um einen Skalarwert handelt, der durch A dargestellt wird, sondern auch um einen Wert mit Richtung.
Unterschiede zwischen Vektor und Skalar
Werte, die keine Vektoren sind, sind skalar. Zum Beispiel ist eine solche Menge von 500 Äpfeln ein Skalar, es hat keine Adresse, es ist nur eine Größe. Zeit ist auch ein Skalar, sie hat keine Richtung.
Geschwindigkeit ist jedoch ein Vektor, da er nicht nur eine Größe (die Geschwindigkeit) des Pfades angibt, sondern auch die Richtung (und Richtung) des Pfades angibt.
Beispielsweise kann die Wirkungslinie des Geschwindigkeitsvektors sein
30 ° von der Horizontalen entfernt sein. Daher wissen wir, in welche Richtung sich das Objekt bewegt.
Dies gibt jedoch immer noch nicht die Richtung der Reise an, unabhängig davon, ob sie sich von uns entfernt oder sich uns nähert. Daher geben wir auch die Richtung an, in der der Vektor durch eine Pfeilspitze wirkt.
Kraft, Beschleunigung und zurückgelegte Strecke sind ebenfalls Vektoren. Wenn Sie zum Beispiel sagen, dass sich ein Auto 10 Meter bewegt hat, bedeutet dies nicht, in welche Richtung es sich bewegt hat. Um die Bewegung vollständig anzugeben, müssen auch die Richtung und die Bewegungsrichtung angegeben werden.
Stärke ist auch ein Vektor, denn wenn Sie ein Objekt zu sich ziehen, kommt es Ihnen nahe, und wenn Sie es von sich wegschieben. Kraft hat also eine Richtung und einen Sinn und ist daher ein Vektor.
Beispiel
Als Beispiele für die Informationen, die ein Vektor liefert, haben wir Folgendes:
Suchen Sie nach einer goldenen Tasche
Angenommen, ein Lehrer sagt Ihnen: "Eine Tüte Gold befindet sich außerhalb des Klassenzimmers. Bewegen Sie sich 20 Meter, um sie zu finden." Diese Aussage wird Sie sicherlich interessieren, jedoch enthält die Erklärung nicht genügend Informationen, um den Goldbeutel zu finden.
Die zum Auffinden des Goldbeutels erforderliche Verschiebung wurde nicht vollständig beschrieben. Nehmen wir andererseits an, Ihr Lehrer sagt Ihnen: "Ein Beutel mit Gold befindet sich außerhalb des Klassenzimmers und bewegt sich von der Mitte der Tür der Klasse aus 20 Meter in eine Richtung von 30 ° westlich des Nordens."
Diese Anweisung enthält nun eine vollständige Beschreibung des Verschiebungsvektors, der die Größe (20 Meter) und Richtung (30 ° westlich von Norden) in Bezug auf eine Referenz- oder Abflugposition (die Mitte der Klassentür) auflistet. ).
Vektorgrößen werden nur dann vollständig beschrieben, wenn sowohl Größe als auch Richtung angegeben sind.
Auto-Verschiebung
Wenn wir uns in einem Auto bewegen, verwenden wir verschiedene Vektoren. Diese Vektoren erscheinen jedes Mal, wenn wir die Geschwindigkeit ändern.
Wenn wir beschleunigen, um ein anderes Auto zu überholen, fügen wir Richtungs- und Geschwindigkeitsvariablen hinzu, die einen neuen Vektor bilden.
Wenn wir andererseits die Geschwindigkeit verringern wollen, subtrahieren wir Vektoren, die der Verzögerung entsprechen.
In einem anderen Sinne ändern wir, wenn wir rückwärts fahren, ohne die Geschwindigkeit zu ändern, die Bedeutung des Vektors, der aus der Bewegung des Autos hervorgeht.
Öffne eine Tür
Wenn wir eine Tür öffnen, verwenden wir mehrere Vektoren. Zuerst müssen wir eine Kraft in eine bestimmte Richtung ausüben, um den Knopf der Tür zu drehen, dann müssen wir die Tür in eine bestimmte Richtung drücken und eine Kraft ausüben.
Diese Kraft- und Richtungswerte entsprechen den Vektoren, die zum Öffnen einer Tür verwendet werden. Beim Schließen einer Tür wird ein neuer Vektor generiert, dessen Wert im Verhältnis zu dem Wert, der ursprünglich zum Öffnen angegeben wurde, negativ ist.
Bewegen Sie eine Kiste
Wenn wir eine sehr schwere Kiste schieben wollen, müssen wir eine Kraft auf ihre Mantelfläche ausüben. Diese Kraft muss in eine Richtung ausgeübt werden, damit sich die Box bewegen kann.
In diesem Fall ergibt sich der Vektor aus der Kombination von Kraft und Richtung, mit der die Box bewegt wird.
Wenn die Box nicht mit Kraft geschoben, sondern vertikal angehoben wird, wird ein neuer Vektor angezeigt.
Dieser Vektor wird durch die vertikale Achse, auf der die Box angehoben wird, und die zum Anheben aufgebrachte Kraft gebildet.
Bewegen Sie ein Schachplättchen
Wie im vorherigen Beispiel kann ein Schachplättchen auf der Oberfläche des Tisches verschoben werden - in eine bestimmte Richtung und unter Anwendung einer bestimmten Kraft -, um seine Position auf dem Brett zu ändern und einen Vektor zu erzeugen.
Es kann auch von der Platine abgehoben werden, wodurch ein neuer Vektor in vertikaler Richtung erzeugt wird.
Drücken Sie eine Taste
Ein Bot wird nur in eine Richtung gedrückt, und zwar durch dasselbe System, das die Schaltfläche enthält.
Um diese Taste zu drücken, muss mit dem Finger eine Kraft ausgeübt werden. Aus der Ausübung dieser Bewegung ergibt sich ein Vektor.
Spielen Sie Billard
Das Schlagen einer Billardkugel mit dem Holzstich führt sofort zu einem Vektor, da sich zwei Größen auswirken: Kraft und Richtung.
Auf die Billardkugel wird eine Kraft ausgeübt, um sie in eine bestimmte Richtung zu bewegen. Die Billardkugel auf dem Tisch hat einen vorher festgelegten Sinn, der von der Entscheidung des Spielers abhängt.
Ein Spielzeugauto ziehen
Wenn ein Kind sein Spielzeugauto nimmt und es an einem Seil zieht oder es einfach mit den Händen manipuliert, erzeugt es zahlreiche Vektoren.
Jedes Mal, wenn das Kind die Geschwindigkeit oder Richtung ändert, in die es das Auto bewegt, erstellt es einen neuen Vektor.
Die Variablen des Vektors würden sich in diesem Fall aus der Energie, die das Kind auf das Auto anwendet, und der Richtung zusammensetzen, in die es es bewegen möchte.
Darstellung von Vektoren
Vektorgrößen werden häufig durch skalierte Vektordiagramme dargestellt.
Vektordiagramme stellen einen Vektor dar, indem sie einen Pfeil verwenden, der in einer bestimmten Richtung maßstabsgetreu gezeichnet ist. Ein geeignetes Vektordiagramm sollte mehrere Merkmale aufweisen:
- Eine Skala ist übersichtlich aufgelistet.
- Ein Vektorpfeil wird (mit Pfeilspitze) in eine bestimmte Richtung gezeichnet. Der Vektorpfeil hat einen Kopf und einen Schwanz.
- Die Größe und Richtung des Vektors ist deutlich gekennzeichnet.
Adresse eines Vektors
Die Vektoren können nach Osten, Westen, Süden und Norden gerichtet sein. Einige Vektoren sind jedoch nach Nordosten gerichtet (in einem Winkel von 45 °). Es ist daher eindeutig erforderlich, die Richtung eines Vektors zu identifizieren, die nicht von Norden, Süden, Osten oder Westen abhängt.
Es gibt eine Vielzahl von Konventionen, um die Richtung eines Vektors zu beschreiben. Im Folgenden werden jedoch nur zwei davon erläutert.
1 - Die Richtung eines Vektors wird häufig als Drehwinkel des Vektors um seinen "Schwanz" nach Osten, Westen, Norden oder Süden ausgedrückt.
Zum Beispiel kann gesagt werden, dass ein Vektor eine Adresse von 40 ° nördlich des Westens hat (was bedeutet, dass ein nach Westen zeigender Vektor um 40 ° nach Norden gedreht wurde) oder dass er eine Richtung von 65 ° Grad hat östlich des Südens (was bedeutet, dass sich ein nach Süden zeigender Vektor um 65 ° nach Osten gedreht hat).
2-Die Richtung eines Vektors wird oft als Drehwinkel gegen den Uhrzeigersinn des Vektors ausgedrückt. Unter Verwendung dieser Konvention ist ein Vektor mit einer 30 ° -Richtung ein Vektor, der relativ zum Osten um 30 ° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde.
Ein Vektor mit einer Richtung von 160 ° ist ein Vektor, der gegenüber dem Osten um 160 ° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde. Ein Vektor mit einer 270 ° -Richtung ist ein Vektor, der relativ zum Osten um 270 ° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde.
Größe eines Vektors
Die Größe eines Vektors in einem skalierten Vektordiagramm wird durch die Länge des Pfeils dargestellt. Der Pfeil wird mit einer genauen Länge gemäß einer gewählten Skala gezeichnet.
Wenn Sie beispielsweise einen Vektor mit einer Größe von 20 Metern zeichnen möchten, können Sie als Maßstab 1 cm = 5 Meter auswählen und einen Pfeil mit einer Länge von 4 cm zeichnen.
Bei Verwendung derselben Skala (1 cm = 5 Meter) wird ein Verschiebungsvektor von 15 Metern durch einen 3 cm langen Vektorpfeil dargestellt.
Ebenso wird ein Verschiebungsvektor von 25 Metern durch einen 5 cm langen Pfeil dargestellt. Und schließlich wird ein Verschiebungsvektor von 18 Metern durch einen 3, 6 cm langen Pfeil dargestellt.
Andere Eigenschaften von Vektoren
Gleichheit : Es wird gesagt, dass zwei Vektoren gleich sind, wenn sie die gleiche Größe und Richtung haben. Gleichermaßen sind sie gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind.
Opposition : Zwei Vektoren sind Gegensätze, wenn sie die gleiche Größe, aber die entgegengesetzte Richtung haben.
Parallelen : Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie dieselbe Richtung haben, aber nicht unbedingt dieselbe Größe, oder antiparallel, wenn sie die entgegengesetzte Richtung haben, aber nicht unbedingt dieselbe Größe.
Einheitsvektor : Ein Einheitsvektor ist ein beliebiger Vektor mit einer Länge von eins.
Vektor Null : Der Vektor Null ist der Vektor mit der Länge Null. Anders als jeder andere Vektor hat er eine willkürliche oder unbestimmte Richtung und kann nicht normalisiert werden
