Pendelbewegung: einfaches Pendel, einfache harmonische Bewegung
Ein Pendel ist ein Gegenstand (im Idealfall eine Punktmasse), der an einem Faden (im Idealfall ohne Masse) eines festen Punkts aufgehängt ist, der dank der Schwerkraft schwingt, dieser mysteriösen unsichtbaren Kraft, die unter anderem am Universum haftet.
Die Pendelbewegung ist diejenige, die in einem Objekt von einer Seite zur anderen auftritt und an einer Faser, einem Kabel oder einem Faden hängt. Die Kräfte, die in diese Bewegung eingreifen, sind die Kombination der Schwerkraft (vertikal zum Erdmittelpunkt) und der Fadenspannung (Fadenrichtung).
Es ist das, was Pendeluhren tun (daher der Name) oder der Spielplatz schwingt. In einem idealen Pendel würde sich die oszillierende Bewegung ständig fortsetzen. In einem realen Pendel endet die Bewegung jedoch mit der Zeit aufgrund von Reibung mit der Luft.
Wenn man an ein Pendel denkt, ist es unvermeidlich, das Bild der Pendeluhr hervorzurufen, die Erinnerung an diese alte und imposante Uhr des Landhauses der Großeltern. Oder vielleicht Edgar Allan Poes Geschichte vom Schrecken, dem Brunnen und dem Pendel, dessen Erzählung von einer der vielen Foltermethoden der spanischen Inquisition inspiriert ist.
Die Wahrheit ist, dass die verschiedenen Pendeltypen über die Messzeit hinaus verschiedene Anwendungen haben, wie zum Beispiel die Bestimmung der Erdbeschleunigung an einem bestimmten Ort und sogar die Darstellung der Erdrotation, wie es der französische Physiker Jean Bernard Léon getan hat Foucault
Das einfache Pendel und die einfache harmonische Vibrationsbewegung
Einfaches Pendel
Das einfache Pendel, obwohl es ein ideales System ist, ermöglicht die theoretische Annäherung an die Bewegung eines Pendels.
Obwohl die Bewegungsgleichungen eines einfachen Pendels etwas komplex sein können, ist die Wahrheit, dass wenn die Amplitude ( A ) oder die Verschiebung von der Gleichgewichtsposition der Bewegung klein ist, sie mit den Gleichungen einer harmonischen Bewegung angenähert werden kann einfach, dass sie nicht übermäßig kompliziert sind.
Einfache harmonische Bewegung
Die einfache harmonische Bewegung ist eine periodische Bewegung, das heißt, sie wiederholt sich mit der Zeit. Darüber hinaus handelt es sich um eine oszillierende Bewegung, deren Oszillation um einen Gleichgewichtspunkt stattfindet, dh um einen Punkt, an dem das Nettoergebnis der Summe der auf den Körper einwirkenden Kräfte Null ist.
Auf diese Weise ist eine grundlegende Eigenschaft der Bewegung des Pendels seine Periode ( T ), die die Zeit bestimmt, die für einen vollständigen Zyklus (oder eine vollständige Oszillation) benötigt wird. Die Periode eines Pendels wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt:
Sein, l = die Länge des Pendels; und g = der Wert der Erdbeschleunigung.
Eine auf die Periode bezogene Größe ist die Frequenz ( f ), die die Anzahl der Zyklen bestimmt, die das Pendel in einer Sekunde zurücklegt. Auf diese Weise kann die Häufigkeit aus der Periode mit folgendem Ausdruck ermittelt werden:
Dynamik der Pendelbewegung
Die Kräfte, die in die Bewegung eingreifen, sind das Gewicht oder, was gleich ist, die Schwerkraft ( P ) und die Spannung des Fadens ( T ). Die Kombination dieser beiden Kräfte bewirkt die Bewegung.
Während die Spannung immer in Richtung des Fadens oder Seils gerichtet ist, der die Masse mit dem festen Punkt verbindet, ist es nicht notwendig, ihn zu zersetzen. Das Gewicht ist immer vertikal auf den Schwerpunkt der Erde gerichtet und muss daher in seine tangentialen und normalen oder radialen Komponenten zerlegt werden.
Die tangentiale Komponente des Gewichts P t = mg sin & thgr ;, während die normale Komponente des Gewichts P N = mg cos & thgr; ist . Dieser zweite wird durch die Spannung des Fadens ausgeglichen; Die als Rückstellkraft wirkende tangentiale Komponente des Gewichts ist somit letztendlich für die Bewegung verantwortlich.
Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Verschiebung einer einfachen harmonischen Bewegung und damit des Pendels wird durch die folgende Gleichung bestimmt:
x = A & ohgr; cos (& ohgr; t + & thgr; 0 )
wobei ω = die Winkelgeschwindigkeit ist; t = ist Zeit; und 0 = ist die Anfangsphase.
Auf diese Weise können Sie mit dieser Gleichung jederzeit die Pendelposition bestimmen. In dieser Hinsicht ist es interessant, einige Beziehungen zwischen einigen Größen der einfachen harmonischen Bewegung hervorzuheben.
ω = 2 Π / T = 2 Π / f
Andererseits erhält man die Formel, die die Geschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit regelt, indem man die Verschiebung als Funktion der Zeit ableitet.
v = dx / dt = -A ω sin ( ω t + θ 0 )
In gleicher Weise erhalten wir den Ausdruck der zeitlichen Beschleunigung:
a = dv / dt = - A & ohgr; 2 cos ( & ohgr; t + & thgr; 0 )
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
Wenn man sowohl den Ausdruck der Geschwindigkeit als auch den der Beschleunigung betrachtet, werden einige interessante Aspekte der Pendelbewegung gewürdigt.
Die Geschwindigkeit nimmt in der Gleichgewichtsposition ihren Maximalwert an, wobei zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung Null ist, da zu diesem Zeitpunkt, wie zuvor angegeben, die Nettokraft Null ist.
Im Gegenteil, an den Extremen der Verschiebung tritt das Gegenteil auf, dort nimmt die Beschleunigung den Maximalwert an und die Geschwindigkeit nimmt einen Nullwert an.
Aus den Gleichungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung lassen sich leicht sowohl das Höchstgeschwindigkeitsmodul als auch das Höchstbeschleunigungsmodul ableiten. Es reicht aus, den maximal möglichen Wert sowohl für sin (ω t + θ 0 ) als auch für cos (ω t + θ 0 ) anzunehmen , der in beiden Fällen 1 ist.
│ v max │ = A ω
│ a max │ = A ω 2
Der Moment, in dem das Pendel die maximale Geschwindigkeit erreicht, liegt vor, wenn es den Gleichgewichtspunkt der Kräfte durchläuft, da dann sin (ω t + θ 0 ) = 1 ist . Im Gegenteil, die maximale Beschleunigung erreicht sie an beiden Enden der Bewegung, da dann cos (ω t + θ 0 ) = 1 ist
Fazit
Ein Pendel ist ein leicht zu gestaltendes Objekt und sieht mit einer einfachen Bewegung aus, obwohl die Wahrheit ist, dass es im Hintergrund viel komplexer ist, als es scheint.
Wenn jedoch die anfängliche Amplitude klein ist, kann ihre Bewegung mit nicht übermäßig komplizierten Gleichungen erklärt werden, da sie mit den Gleichungen einer einfachen harmonischen Schwingungsbewegung angenähert werden kann.
Die verschiedenen Arten von Pendeln haben unterschiedliche Anwendungen sowohl im täglichen Leben als auch im wissenschaftlichen Bereich.
