Winkelbeschleunigung: Berechnung und Beispiele
Die Winkelbeschleunigung ist die Änderung, die die Winkelgeschwindigkeit unter Berücksichtigung einer Zeiteinheit beeinflusst. Es wird durch den griechischen Buchstaben alpha, α dargestellt. Die Winkelbeschleunigung ist eine vektorielle Größe; Daher besteht es aus einem Modul, einer Richtung und einem Sinn.
Die Maßeinheit für die Winkelbeschleunigung im Internationalen System ist das Quadrat im Bogenmaß pro Sekunde. Auf diese Weise kann durch die Winkelbeschleunigung bestimmt werden, wie sich die Winkelgeschwindigkeit über die Zeit ändert. Die mit gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegungen verbundene Winkelbeschleunigung wird häufig untersucht.
Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Bei einer linearen Bewegung ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz eine Kraft erforderlich, damit ein Körper eine bestimmte Beschleunigung erhält. Diese Kraft ist das Ergebnis der Multiplikation der Masse des Körpers und der Beschleunigung, die von ihm erfahren wird.
Im Fall einer kreisförmigen Bewegung wird die Kraft, die erforderlich ist, um eine Winkelbeschleunigung zu erzeugen, als Drehmoment bezeichnet. Kurz gesagt kann Drehmoment als Winkelkraft verstanden werden. Es wird mit dem griechischen Buchstaben τ (ausgesprochen "tau") bezeichnet.
Ebenso ist zu berücksichtigen, dass bei einer Rotationsbewegung das Trägheitsmoment I des Körpers die Rolle der Masse bei der Linearbewegung spielt. Auf diese Weise wird das Drehmoment einer Kreisbewegung mit dem folgenden Ausdruck berechnet:
τ = I α
In diesem Ausdruck ist I das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die Rotationsachse.
Beispiele
Erstes Beispiel
Bestimmen Sie die augenblickliche Winkelbeschleunigung eines sich bewegenden Körpers, indem Sie eine Rotationsbewegung ausführen, wenn Sie seine Position in der Rotation ausdrücken t (t) = 4 t3 i. (Da i der Einheitsvektor in Richtung der x-Achse ist).
Ermitteln Sie außerdem den Wert der momentanen Winkelbeschleunigung, wenn seit Beginn der Bewegung 10 Sekunden vergangen sind.
Lösung
Der Ausdruck der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Ausdruck der Position:
ω (t) = d Θ / dt = 12 t2i (rad / s)
Sobald die momentane Winkelgeschwindigkeit berechnet ist, kann die momentane Winkelbeschleunigung als Funktion der Zeit berechnet werden.
α (t) = dω / dt = 24 ti (rad / s2)
Um den Wert der momentanen Winkelbeschleunigung nach Ablauf von 10 Sekunden zu berechnen, muss nur der Zeitwert im vorherigen Ergebnis ersetzt werden.
α (10) = = 240 i (rad / s2)
Zweites Beispiel
Bestimmen Sie die durchschnittliche Winkelbeschleunigung eines Körpers, der eine Kreisbewegung erfährt, wobei Sie wissen, dass seine anfängliche Winkelgeschwindigkeit 40 rad / s betrug und dass er nach 20 Sekunden die Winkelgeschwindigkeit von 120 rad / s erreicht hat.
Lösung
Aus dem folgenden Ausdruck können Sie die durchschnittliche Winkelbeschleunigung berechnen:
α = Δω / Δt
α = (ωf - ω & sub0;) / (tf - t & sub0;) = (120 - 40) / 20 = 4 rad / s
Drittes Beispiel
Wie hoch ist die Winkelbeschleunigung eines Rades, das sich mit einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung zu bewegen beginnt, bis es nach 10 Sekunden die Winkelgeschwindigkeit von 3 Umdrehungen pro Minute erreicht? Was wird die tangentiale Beschleunigung der Kreisbewegung in dieser Zeit sein? Der Radius beträgt 20 Meter.
Lösung
Erstens ist es notwendig, die Winkelgeschwindigkeit von Umdrehungen pro Minute in Bogenmaß pro Sekunde umzuwandeln. Hierzu wird folgende Transformation durchgeführt:
ω f = 3 U / min = 3 ∙ (2 ∙ Π) / 60 = Π / 10 rad / s
Sobald diese Transformation durchgeführt wurde, ist es möglich, die Winkelbeschleunigung zu berechnen, vorausgesetzt, dass:
ω = ω 0 + α ∙ t
Π / 10 = 0 + α ≤ 10
α = Π / 100 rad / s2
Die tangentiale Beschleunigung ergibt sich aus der Betätigung des folgenden Ausdrucks:
α = a / R
a = α ∙ R = 20 ∙ Π / 100 = Π / 5 m / s2
