13 Mengenklassen und Beispiele

Die Mengenklassen können unter anderem als gleich, endlich und unendlich, Teilmengen, leer, disjunkt oder disjunkt, gleichwertig, einheitlich, überlagert oder überlappend, kongruent und nicht kongruent klassifiziert werden.

Ein Set ist eine Sammlung von Objekten, aber neue Begriffe und Symbole sind notwendig, um sinnvoll über die Sets sprechen zu können.

In der gewöhnlichen Sprache wird der Welt, in der wir leben, Bedeutung verliehen, um Dinge zu klassifizieren. Spanisch hat viele Wörter für solche Sammlungen. Zum Beispiel "ein Vogelschwarm", "eine Rinderherde", "ein Bienenschwarm" und "eine Ameisenkolonie".

In der Mathematik geschieht etwas Ähnliches, wenn Zahlen, geometrische Figuren usw. klassifiziert werden. Die Objekte dieser Mengen werden Elemente der Menge genannt.

Beschreibung eines Sets

Eine Menge kann beschrieben werden, indem alle ihre Elemente aufgelistet werden. Zum Beispiel

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S ist die Menge, deren Elemente 1, 3, 5, 7 und 9 sind". Die fünf Elemente der Menge sind durch Kommas getrennt und in geschweiften Klammern angegeben.

Eine Menge kann auch eingegrenzt werden, indem eine Definition ihrer Elemente in eckigen Klammern angegeben wird. Somit kann die obige Menge S auch geschrieben werden als:

S = {ungerade ganze Zahlen kleiner als 10}.

Ein Set muss gut definiert sein. Dies bedeutet, dass die Beschreibung der Elemente einer Menge klar und eindeutig sein muss. Zum Beispiel ist {große Leute} keine Menge, weil die Leute dazu neigen, nicht damit einverstanden zu sein, was 'hoch' bedeutet. Ein Beispiel für eine genau definierte Menge ist

T = {Buchstaben des Alphabets}.

Arten von Sets

1- Gleiche Sätze

Zwei Sets sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente haben.

Zum Beispiel:

Wenn A = {Vocals of the alphabet} und B = {a, e, i, o, u} ist, heißt es, dass A = B.
Andererseits sind die Mengen {1, 3, 5} und {1, 2, 3} nicht gleich, weil sie unterschiedliche Elemente haben. Dies ist geschrieben als {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
Die Reihenfolge, in der die Elemente in die Klammern geschrieben werden, spielt keine Rolle. Zum Beispiel ist {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
Wenn ein Element mehrmals in der Liste aufgeführt ist, wird es nur einmal gezählt. Zum Beispiel: {a, a, b} = {a, b}.

Die Menge {a, a, b} enthält nur die beiden Elemente a und b. Die zweite Erwähnung von a ist eine unnötige Wiederholung und kann ignoriert werden. Es wird normalerweise als fehlerhafte Notation angesehen, wenn ein Element mehr als einmal aufgeführt wird.

2- Endliche und unendliche Mengen

Die endlichen Mengen sind solche, in denen alle Elemente der Menge gezählt oder aufgelistet werden können. Hier sind zwei Beispiele:

{Ganze Zahlen zwischen 2.000 und 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
{Ganze Zahlen zwischen 2.000 und 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003, ..., 2.999}

Die drei Punkte '...' im zweiten Beispiel repräsentieren die anderen 995 Zahlen in der Menge. Alle Elemente hätten aufgelistet werden können, aber um Platz zu sparen, wurden stattdessen Punkte verwendet. Diese Notation kann nur verwendet werden, wenn völlig klar ist, was es bedeutet, wie in dieser Situation.

Eine Menge kann auch unendlich sein - das Einzige, was zählt, ist, dass sie genau definiert ist. Hier sind zwei Beispiele für unendliche Mengen:

{Gerade und ganze Zahlen größer als oder gleich zwei} = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
{Ganze Zahlen größer als 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004, ...}

Beide Mengen sind unendlich, da unabhängig von der Anzahl der Elemente, die Sie aufzählen möchten, immer mehr Elemente in der Menge vorhanden sind, die nicht aufgelistet werden können, unabhängig davon, wie lange Sie es versuchen. Diesmal haben die Punkte '...' eine etwas andere Bedeutung, da sie unendlich viele nicht aufgeführte Elemente darstellen.

3- Legt Teilmengen fest

Eine Teilmenge ist ein Teil einer Menge.

Beispiel: Eulen sind eine bestimmte Vogelart, daher ist jede Eule auch ein Vogel. In der Sprache der Mengen wird ausgedrückt, dass die Menge der Eulen eine Teilmenge der Menge der Vögel ist.

Eine Menge S heißt eine Teilmenge einer anderen Menge T, wenn jedes Element von S ein Element von T ist. Dies wird geschrieben als:

S ⊂ T (Lesen Sie "S ist eine Teilmenge von T")

Das neue Symbol ⊂ bedeutet "es ist eine Teilmenge von". Also {Eulen} ⊂ {Vögel}, weil jede Eule ein Vogel ist.

Wenn A = {2, 4, 6} und B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, dann ist A ⊂ B,

Weil jedes Element von A ein Element von B ist.

Das Symbol ⊄ bedeutet "es ist keine Teilmenge".

Dies bedeutet, dass mindestens ein Element von S kein Element von T ist. Beispiel:

{Vögel} ⊄ {fliegende Kreaturen}

Denn ein Strauß ist ein Vogel, aber er fliegt nicht.

Wenn A = {0, 1, 2, 3, 4} und B = {2, 3, 4, 5, 6}, dann ist A ⊄

Da 0 ≤ A, aber 0 ≤ B ist, wird "0 gehört zu Satz A", aber "0 gehört nicht zu Satz B" angezeigt.

4- Satz leeren

Das Symbol Ø steht für die leere Menge, die überhaupt keine Elemente enthält. Nichts im gesamten Universum ist ein Element von Ø:

| Ø | = 0 und X ∉ Ø ist es egal, was X sein kann.

Es gibt nur eine leere Menge, da zwei leere Mengen genau die gleichen Elemente haben und daher gleich sein müssen.

5- Disjunkte oder disjunkte Mengen

Zwei Mengen werden als disjunkt bezeichnet, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Zum Beispiel:

Die Mengen S = {2, 4, 6, 8} und T = {1, 3, 5, 7} sind disjunkt.

6- Äquivalenzsätze

Es wird gesagt, dass A und B äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben, die sie bilden, das heißt, die Kardinalzahl der Menge A ist gleich der Kardinalzahl der Menge B, n (A) = n (B). Das Symbol für eine äquivalente Menge ist „↔“.

Zum Beispiel:
A = {1, 2, 3}, daher ist n (A) = 3
B = {p, q, r}, daher ist n (B) = 3
Daher ist A ↔ B

7- Einheitliche Sets

Es ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Mit anderen Worten, es gibt nur ein Element, das das Ganze ausmacht.

Zum Beispiel:

S = {a}
Sei B = {eine gerade Primzahl}

Daher ist B eine einheitliche Menge, weil es nur eine gerade Primzahl gibt, das heißt 2.

8- Universal- oder Referenzsatz

Eine universelle Menge ist die Sammlung aller Objekte in einem bestimmten Kontext oder einer bestimmten Theorie. Alle anderen Mengen in diesem Rahmen bilden Teilmengen der universellen Menge, die mit dem Großbuchstaben und dem kursiven U bezeichnet wird.

Die genaue Definition von U hängt vom jeweiligen Kontext oder der jeweiligen Theorie ab. Zum Beispiel:

Sie könnten U als die Menge aller Lebewesen auf dem Planeten Erde definieren. In diesem Fall ist die Menge aller Katzen eine Teilmenge von U, die Menge aller Fische ist eine weitere Teilmenge von U.
Wenn wir U als die Menge aller Tiere auf dem Planeten Erde definieren, dann ist die Menge aller Katzen eine Teilmenge von U, die Menge aller Fische ist eine andere Teilmenge von U, aber die Menge aller Bäume ist keine Teilmenge von U.

9- Überlappende oder überlappende Sätze

Zwei Mengen mit mindestens einem gemeinsamen Element werden als überlappende Mengen bezeichnet.

Beispiel: Lassen Sie X = {1, 2, 3} und Y = {3, 4, 5}

Die beiden Mengen X und Y haben ein Element gemeinsam, die Nummer 3. Daher werden sie überlappende Mengen genannt.

10- Kongruente Sätze.

Sind das Mengen, in denen jedes Element von A das gleiche Abstandsverhältnis zu seinem Elementbild von B hat? Beispiel:

B {2, 3, 4, 5, 6} und A {1, 2, 3, 4, 5}

Der Abstand zwischen: 2 und 1, 3 und 2, 4 und 3, 5 und 4, 6 und 5 ist eine (1) Einheit, daher sind A und B kongruente Mengen.

11- Nicht kongruente Mengen

Dies sind diejenigen, bei denen das gleiche Abstandsverhältnis zwischen den Elementen von A nicht mit dem Bild in B festgestellt werden kann. Beispiel:

B {2, 8, 20, 100, 500} und A {1, 2, 3, 4, 5}

Der Abstand zwischen: 2 und 1, 8 und 2, 20 und 3, 100 und 4, 500 und 5 ist unterschiedlich, daher sind A und B nicht kongruente Mengen.

12- Homogene Mengen

Alle Elemente, aus denen sich das Set zusammensetzt, gehören derselben Kategorie, demselben Genre oder derselben Klasse an. Sie sind vom gleichen Typ. Beispiel: