Welche Arten von Integralen gibt es?
Die Arten von Integralen, die wir in der Berechnung finden, sind: Unbestimmte Integrale und Definierte Integrale. Obwohl bestimmte Integrale viel mehr Anwendungen haben als unbestimmte Integrale, muss man zuerst lernen, unbestimmte Integrale zu lösen.
Eine der attraktivsten Anwendungen bestimmter Integrale ist die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.
Beide Arten von Integralen haben die gleichen Linearitätseigenschaften, und auch die Integrationstechniken hängen nicht von der Art des Integrals ab.
Aber obwohl es sehr ähnlich ist, gibt es einen Hauptunterschied. Im ersten Typ des Integrals ist das Ergebnis eine Funktion (die nicht spezifisch ist), während im zweiten Typ das Ergebnis eine Zahl ist.
Zwei Grundtypen von Integralen
Die Welt der Integrale ist sehr breit, aber innerhalb dieser können wir zwei Grundtypen von Integralen unterscheiden, die eine große Anwendbarkeit im täglichen Leben haben.
1- Unbestimmte Integrale
Wenn F '(x) = f (x) für alle x in der Domäne von f ist, sagen wir, dass F (x) ein Antiderivativ, ein Primitiv oder ein Integral von f (x) ist.
Beachten Sie andererseits, dass (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), was impliziert, dass das Integral einer Funktion nicht eindeutig ist, da wir unterschiedliche Werte für die Konstante C erhalten Antiderivate.
Aus diesem Grund heißt F (x) + C das unbestimmte Integral von f (x), und C heißt Integrationskonstante, und wir schreiben es folgendermaßen
Wie wir sehen können, ist das unbestimmte Integral der Funktion f (x) eine Familie von Funktionen.
Wenn Sie beispielsweise das unbestimmte Integral der Funktion f (x) = 3x² berechnen möchten, müssen Sie zuerst ein Antiderivativ von f (x) finden.
Es ist leicht zu bemerken, dass F (x) = x³ ein Antiderivativ ist, da F '(x) = 3x². Daraus kann geschlossen werden, dass
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Definierte Integrale
Sei y = f (x) eine tatsächliche Funktion, stetig in einem geschlossenen Intervall [a, b] und sei F (x) ein Antiderivativ von f (x). Es wird das definitive Integral von f (x) zwischen den Grenzen a und b und der Zahl F (b) -F (a) genannt und wird wie folgt bezeichnet
Die oben gezeigte Formel ist besser als "The Fundamental Theorem of Calculus" bekannt. Hier wird "a" als Untergrenze und "b" als Obergrenze bezeichnet. Wie Sie sehen, ist das bestimmte Integral einer Funktion eine Zahl.
In diesem Fall wird eine Zahl erhalten, wenn das bestimmte Integral von f (x) = 3x² im Intervall [0, 3] berechnet wird.
Um diese Zahl zu bestimmen, wählen wir F (x) = x³ als Antiderivativ von f (x) = 3x². Dann berechnen wir F (3) -F (0), was uns das Ergebnis 27-0 = 27 ergibt. Zusammenfassend ist das definitive Integral von f (x) im Intervall [0.3] 27.
Es kann hervorgehoben werden, dass, wenn G (x) = x³ + 3 gewählt wird, G (x) ein Antiderivativ von f (x) ist, das von F (x) verschieden ist, dies jedoch das Ergebnis nicht beeinflusst, da G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Aus diesem Grund wird in den definierten Integralen die Integrationskonstante nicht angezeigt.
Eine der nützlichsten Anwendungen dieses Integraltyps ist die Berechnung der Fläche (des Volumens) einer flachen Figur (eines Rotationskörpers), wobei geeignete Funktionen und Integrationsgrenzen (und eine Rotationsachse) festgelegt werden.
Innerhalb der definierten Integrale können wir verschiedene Erweiterungen finden, wie zum Beispiel Linienintegrale, Oberflächenintegrale, unechte Integrale, Mehrfachintegrale, unter anderem alle mit sehr nützlichen Anwendungen in Wissenschaft und Technik.
