Historischer Hintergrund der analytischen Geometrie

Der historische Hintergrund der analytischen Geometrie reicht bis ins 17. Jahrhundert zurück, als Pierre de Fermat und René Descartes ihre Grundidee definierten. Seine Erfindung folgte der Modernisierung der Algebra und der algebraischen Notation von François Viète.

Dieses Gebiet hat seine Wurzeln im antiken Griechenland, insbesondere in den Werken von Apollonius und Euklid, die auf diesem Gebiet der Mathematik einen großen Einfluss hatten.

Die Grundidee der analytischen Geometrie besteht darin, dass eine Beziehung zwischen zwei Variablen, von denen eine eine Funktion der anderen ist, eine Kurve definiert.

Diese Idee wurde zum ersten Mal von Pierre de Fermat entwickelt. Dank dieses wesentlichen Rahmens konnten Isaac Newton und Gottfried Leibniz die Berechnung entwickeln.

Der französische Philosoph Descartes entdeckte auch eine algebraische Herangehensweise an die Geometrie, anscheinend auf eigene Faust. Descartes 'Arbeit zur Geometrie erscheint in seinem berühmten Buch Discourse on Method .

In diesem Buch wird darauf hingewiesen, dass der Kompass und die geometrischen Konstruktionen von geraden Kanten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Quadratwurzel beinhalten.

Die analytische Geometrie repräsentiert die Vereinigung von zwei wichtigen Traditionen in der Mathematik: Geometrie als Studium der Form und Arithmetik und Algebra, die mit Quantität oder Zahlen zu tun haben. Analytische Geometrie ist daher die Untersuchung des Geometriefeldes mit Hilfe von Koordinatensystemen.

Geschichte

Hintergrund der analytischen Geometrie

Die Beziehung zwischen Geometrie und Algebra hat sich in der gesamten Geschichte der Mathematik weiterentwickelt, obwohl die Geometrie früher einen Reifegrad erreicht hat.

Zum Beispiel konnte der griechische Mathematiker Euklid in seinem klassischen Buch The Elements viele Ergebnisse organisieren.

Aber es war der antike Grieche Apollonius von Perga, der in seinem Buch Conics die Entwicklung der analytischen Geometrie voraussagte . Er definierte einen Kegel als den Schnittpunkt zwischen einem Kegel und einer Ebene.

Unter Verwendung der Ergebnisse von Euklid in ähnlichen Dreiecken und Kreisen fand er eine Beziehung, die durch die Abstände von jedem Punkt "P" eines Kegels zu zwei senkrechten Linien, der Hauptachse eines Kegels und der Tangente an einem Endpunkt der Achse gegeben ist. Apollonius nutzte diese Beziehung, um fundamentale Eigenschaften von Kegeln abzuleiten.

Die spätere Entwicklung von Koordinatensystemen in der Mathematik erfolgte erst, nachdem die Algebra dank islamischer und indischer Mathematiker gereift war.

Bis zur Renaissance wurde die Geometrie verwendet, um Lösungen für algebraische Probleme zu rechtfertigen, aber es gab nicht viel, was die Algebra zur Geometrie beitragen konnte.

Diese Situation würde sich mit der Einführung einer bequemen Notation für algebraische Beziehungen und der Entwicklung des Konzepts einer mathematischen Funktion ändern, die nun möglich war.

XVI Jahrhundert

Ende des 16. Jahrhunderts führte der französische Mathematiker François Viète die erste systematische algebraische Notation ein, bei der Buchstaben sowohl bekannte als auch unbekannte numerische Größen darstellen.

Er entwickelte auch leistungsfähige allgemeine Methoden zum Arbeiten mit algebraischen Ausdrücken und zum Lösen algebraischer Gleichungen.

Dadurch waren Mathematiker nicht vollständig auf geometrische Figuren und geometrische Intuition angewiesen, um Probleme zu lösen.

Sogar einige Mathematiker begannen, die geometrische Denkweise aufzugeben, nach der die linearen Variablen von Längen und Quadraten Flächen entsprechen, während die Kubik den Volumina entsprechen.

Der Philosoph und Mathematiker René Descartes und der Anwalt und Mathematiker Pierre de Fermat haben diesen Schritt als erste unternommen.

Grundlagen der analytischen Geometrie

Descartes und Fermat gründeten in den 1630er Jahren unabhängig voneinander die analytische Geometrie und verwendeten die Viète-Algebra zur Untersuchung des Orts.

Diese Mathematiker erkannten, dass Algebra ein Werkzeug mit großer Kraft in der Geometrie ist und erfanden die so genannte analytische Geometrie.

Ein Fortschritt, den sie machten, war, Viète zu überwinden, indem sie Buchstaben verwendeten, um Entfernungen darzustellen, die variabel und nicht fest waren.

Descartes verwendete Gleichungen, um geometrisch definierte Kurven zu untersuchen, und hob die Notwendigkeit hervor, die allgemeinen algebraisch-grafischen Kurven von Polynomgleichungen in den Graden "x" und "y" zu berücksichtigen.

Fermat betonte seinerseits, dass jede Beziehung zwischen den Koordinaten "x" und "und" eine Kurve bestimmt.

Mit diesen Ideen restrukturierte er Apollonius 'Aussagen zu algebraischen Begriffen und restaurierte einige seiner verlorenen Werke.

Fermat gab an, dass jede quadratische Gleichung in "x" und "y" in der Standardform eines der konischen Abschnitte platziert werden kann. Trotzdem hat Fermat seine Arbeiten zu diesem Thema nie veröffentlicht.

Dank seiner Fortschritte, die Archimedes nur sehr schwer und in Einzelfällen lösen konnte, konnten Fermat und Descartes es schnell und für eine große Anzahl von Kurven (heute als algebraische Kurven bezeichnet) lösen.

Seine Ideen fanden jedoch erst durch die Bemühungen anderer Mathematiker in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts allgemeine Akzeptanz.

Die Mathematiker Frans van Schooten, Florimond de Beaune und Johan de Witt halfen, Decartes 'Arbeit zu erweitern und fügten wichtiges zusätzliches Material hinzu.

Einfluss

In England popularisierte John Wallis die analytische Geometrie. Er verwendete Gleichungen, um die Kegelschnitte zu definieren und ihre Eigenschaften abzuleiten. Obwohl er negative Koordinaten frei benutzte, benutzte Isaac Newton zwei schräge Achsen, um die Ebene in vier Quadranten zu unterteilen.

Newton und der Deutsche Gottfried Leibniz revolutionierten die Mathematik am Ende des 17. Jahrhunderts, indem sie unabhängig voneinander die Kraft der Berechnung demonstrierten.

Newton demonstrierte die Bedeutung analytischer Methoden in der Geometrie und ihre Rolle in der Analysis, als er behauptete, dass jeder Würfel (oder jede algebraische Kurve dritten Grades) drei oder vier Standardgleichungen für geeignete Koordinatenachsen hat. Mit der Hilfe von Newton selbst testete der schottische Mathematiker John Stirling es 1717.

Analytische Geometrie von drei und mehr Dimensionen

Obwohl sowohl Descartes als auch Fermat die Verwendung von drei Koordinaten zur Untersuchung von Kurven und Flächen im Raum vorschlugen, entwickelte sich die dreidimensionale analytische Geometrie bis 1730 nur langsam.

Die Mathematiker Euler, Hermann und Clairaut stellten allgemeine Gleichungen für Zylinder, Kegel und Rotationsflächen auf.

Zum Beispiel verwendete Euler Raumgleichungen, um die allgemeine quadratische Fläche so zu transformieren, dass ihre Hauptachsen mit ihren Koordinatenachsen zusammenfielen.

Euler, Joseph-Louis Lagrange und Gaspard Monge haben analytische Geometrie unabhängig von synthetischer (nicht analytischer) Geometrie gemacht.