Zähltechniken: Haupttechniken, Anwendungen und Beispiele

Zähltechniken sind eine Reihe von Wahrscheinlichkeitsmethoden zum Zählen der möglichen Anzahl von Anordnungen innerhalb eines Satzes oder mehrerer Sätze von Objekten. Diese werden verwendet, wenn die manuelle Erstellung der Konten aufgrund der großen Anzahl von Objekten und / oder Variablen kompliziert wird.

Die Lösung für dieses Problem ist zum Beispiel ganz einfach: Stellen Sie sich vor, Ihr Chef fordert Sie auf, die letzten Produkte zu zählen, die in der letzten Stunde eingetroffen sind. In diesem Fall können Sie die Produkte einzeln zählen.

Stellen Sie sich jedoch das Problem vor: Ihr Chef bittet Sie zu zählen, wie viele Gruppen von 5 Produkten desselben Typs mit denen gebildet werden können, die in der letzten Stunde angekommen sind. In diesem Fall wird die Berechnung kompliziert. Die sogenannten Zähltechniken werden für diese Art von Situation verwendet.

Diese Techniken sind mehrere, aber die wichtigsten sind in zwei Grundprinzipien unterteilt, nämlich den multiplikativen und den additiven. Permutationen und Kombinationen.

Multiplikatives Prinzip

Anwendungen

Das multiplikative Prinzip ist zusammen mit dem Additiv grundlegend für das Verständnis der Funktionsweise von Zähltechniken. Im Falle des Multiplikativs besteht es aus:

Stellen Sie sich eine Aktivität vor, die eine bestimmte Anzahl von Schritten umfasst (die Summe wird als "r" markiert), wobei der erste Schritt aus N1-Formen, der zweite Schritt aus N2 und der Schritt "r" aus Nr-Formen bestehen kann. In diesem Fall kann die Aktivität aus der Anzahl der Formulare ausgeführt werden, die sich aus dieser Operation ergeben: N1 x N2 x .......... x Nr-Formulare

Aus diesem Grund wird dieses Prinzip als multiplikativ bezeichnet und impliziert, dass jeder einzelne der Schritte, die zur Durchführung der Aktivität erforderlich sind, nacheinander ausgeführt werden muss.

Beispiel

Stellen wir uns eine Person vor, die eine Schule bauen möchte. Berücksichtigen Sie dazu, dass die Basis des Gebäudes auf zwei verschiedene Arten konstruiert werden kann: Zement oder Beton. Die Wände können aus Lehm, Zement oder Backstein bestehen.

Das Dach kann aus Zement oder verzinktem Blech bestehen. Schließlich kann das endgültige Malen nur auf eine Weise erfolgen. Es stellt sich folgende Frage: Wie viele Wege muss die Schule bauen?

Als erstes betrachten wir die Anzahl der Stufen, welche die Basis, die Wände, das Dach und das Gemälde sein würden. Insgesamt 4 Schritte, also r = 4.

Das Folgende wäre, das N aufzulisten:

N1 = Wege zum Aufbau der Basis = 2

N2 = Wege zum Mauerbau = 3

N3 = Wege zum Dach = 2

N4 = Wege zum Malen = 1

Daher würde die Anzahl der möglichen Formen nach der oben beschriebenen Formel berechnet:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 Schularten.

Additivprinzip

Anwendungen

Dieses Prinzip ist sehr einfach und besteht darin, dass bei mehreren Alternativen zur Durchführung derselben Tätigkeit die möglichen Formen aus der Summe der verschiedenen Realisierungsmöglichkeiten aller Alternativen bestehen.

Mit anderen Worten, wenn wir eine Aktivität mit drei Alternativen ausführen möchten, wobei die erste Alternative in M-Formen, die zweite in N-Formen und die letzte in W-Formen ausgeführt werden kann, kann die Aktivität aus folgenden Elementen bestehen: M + N + ......... + W bildet.

Beispiel

Stellen Sie sich diesmal eine Person vor, die einen Tennisschläger kaufen möchte. Dafür stehen drei Marken zur Auswahl: Wilson, Babolat oder Head.

Als er in den Laden geht, sieht er, dass der Wilson-Schläger mit dem Griff in zwei verschiedenen Größen, L2 oder L3, in vier verschiedenen Modellen gekauft werden kann und besaitet oder unbesaitet sein kann.

Der Babolat-Schläger hingegen hat drei Griffe (L1, L2 und L3), es gibt zwei verschiedene Modelle und er kann auch besaitet oder ohne Besaitung sein.

Der Head-Schläger hingegen hat nur einen Griff, den L2, in zwei verschiedenen Modellen und nur ohne Bespannung. Die Frage ist: Wie viele Möglichkeiten hat diese Person, um seinen Schläger zu kaufen?

M = Anzahl der Möglichkeiten, einen Wilson-Schläger auszuwählen

N = Anzahl der Möglichkeiten, einen Babolat-Schläger auszuwählen

W = Anzahl der Möglichkeiten, einen Head Racket auszuwählen

Wir machen das Multiplikatorprinzip:

M = 2 × 4 × 2 = 16 Formen

N = 3 × 2 × 2 = 12 Formen

W = 1 × 2 × 1 = 2 Formen

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 Möglichkeiten, einen Schläger auszuwählen.

Um zu wissen, wann das multiplikative Prinzip und der Zusatz angewendet werden sollen, muss lediglich geprüft werden, ob für die Aktivität eine Reihe von Schritten auszuführen sind, und ob es mehrere Alternativen gibt, den Zusatz.

Permutationen

Anwendungen

Um zu verstehen, was eine Permutation ist, ist es wichtig zu erklären, was eine Kombination ist, um sie zu unterscheiden und zu wissen, wann sie verwendet werden müssen.

Eine Kombination wäre eine Anordnung von Elementen, an denen wir nicht interessiert sind, welche Position jeder von ihnen einnimmt.

Eine Permutation wäre andererseits eine Anordnung von Elementen, an denen wir uns für die Position interessieren, die jeder von ihnen einnimmt.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um den Unterschied besser zu verstehen.

Beispiel

Stellen Sie sich eine Klasse mit 35 Schülern in folgenden Situationen vor:

1. Der Lehrer möchte, dass drei seiner Schüler ihm helfen, die Klasse sauber zu halten, oder den anderen Schülern Materialien liefern, wenn er sie benötigt.
2. Der Lehrer möchte die Klassendelegierten (einen Präsidenten, einen Assistenten und einen Finanzier) ernennen.

Die Lösung wäre die folgende:

1. Stellen Sie sich vor, dass Juan, María und Lucía gewählt werden, um die Klasse zu säubern oder die Materialien zu liefern. Offensichtlich könnten sich unter den 35 möglichen Studenten auch andere Dreiergruppen gebildet haben.

Wir müssen uns folgende Fragen stellen: Ist es wichtig, in welcher Reihenfolge oder in welcher Position sich jeder der Schüler zum Zeitpunkt der Auswahl befindet?

Wenn wir darüber nachdenken, stellen wir fest, dass es nicht wirklich wichtig ist, da die Gruppe sich um beide Aufgaben gleichermaßen kümmert. In diesem Fall handelt es sich um eine Kombination, da uns die Position der Elemente nicht interessiert.

2. Stellen Sie sich nun vor, dass John als Präsident, Maria als Assistentin und Lucia als Finanzdirektorin ausgewählt wird.

Wäre in diesem Fall die Bestellung von Bedeutung? Die Antwort lautet ja, denn wenn wir die Elemente ändern, ändert sich das Ergebnis. Das heißt, wenn wir Juan nicht als Präsidenten, sondern als Assistenten und Maria als Präsidenten einsetzen würden, würde sich das Endergebnis ändern. In diesem Fall handelt es sich um eine Permutation.

Sobald der Unterschied verstanden ist, erhalten wir die Formeln der Permutationen und Kombinationen. Zunächst müssen wir jedoch den Begriff "n!" (Fakultät) definieren, da er in den verschiedenen Formeln verwendet wird.

n! = das Produkt von 1 bis n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... ..x n

Verwenden Sie es mit reellen Zahlen:

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Die Formel der Permutationen wäre:

nPr = n! / (nr)!

Damit können wir herausfinden, wo die Reihenfolge wichtig ist und wo die n Elemente unterschiedlich sind.

Kombinationen

Anwendungen

Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei den Kombinationen um die Anordnungen, bei denen es uns nicht um die Position der Elemente geht.

Ihre Formel lautet wie folgt:

nCr = n! / (nr)! r!

Beispiel

Wenn es 14 Schüler gibt, die sich freiwillig für die Reinigung des Klassenzimmers melden möchten, wie viele Reinigungsgruppen kann jede Gruppe aus 5 Personen bestehen?

Die Lösung wäre daher die folgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 Gruppen