Kirchhoffsche Gesetze: Erstes und Zweites Gesetz (mit Beispielen)
Die Gesetze von Kirchhoff basieren auf dem Energieerhaltungssatz und erlauben die Analyse der Variablen, die elektrischen Schaltkreisen inhärent sind. Beide Vorschriften wurden Mitte des Jahres 1845 vom preußischen Physiker Gustav Robert Kirchhoff aufgestellt und werden gegenwärtig in der Elektrotechnik und Elektronik zur Berechnung von Strom und Spannung verwendet.
Das erste Gesetz besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten der Schaltung eintreten, gleich der Summe aller Ströme sein muss, die aus dem Knoten ausgestoßen werden. Das zweite Gesetz besagt, dass die Summe aller positiven Spannungen in einem Netz gleich der Summe der negativen Spannungen sein muss (die Spannung fällt in die entgegengesetzte Richtung ab).
Die Gesetze von Kirchhoff sind zusammen mit dem Ohmschen Gesetz das Hauptwerkzeug, mit dem der Wert der elektrischen Parameter einer Schaltung analysiert wird.
Durch die Analyse von Knoten (erster Hauptsatz) oder Maschen (zweiter Hauptsatz) ist es möglich, die Werte von Strömen und Spannungsabfällen zu ermitteln, die an jedem Punkt der Baugruppe auftreten.
Das Obige gilt aufgrund der Grundlage der beiden Gesetze: das Gesetz der Energieerhaltung und das Gesetz der Erhaltung der elektrischen Ladung. Beide Methoden sind komplementär und können sogar gleichzeitig als gegenseitige Überprüfungsmethoden für denselben Stromkreis verwendet werden.
Für die korrekte Verwendung ist es jedoch wichtig, auf die Polarität der Quellen und der miteinander verbundenen Elemente sowie auf die Flussrichtung des Stroms zu achten.
Ein Fehler im System
Erstes Gesetz von Kirchhoff
Das erste Gesetz von Kirchhoff basiert auf dem Energieerhaltungsgesetz; genauer gesagt im Gleichgewicht des Stromflusses durch einen Knoten in der Schaltung.
Dieses Gesetz gilt in gleicher Weise für Gleich- und Wechselstromkreise, die alle auf dem Energieerhaltungssatz beruhen, da Energie nicht erzeugt oder zerstört, sondern nur umgewandelt wird.
Dieses Gesetz legt fest, dass die Summe aller Ströme, die in einen Knoten eintreten, betragsmäßig gleich der Summe der Ströme ist, die von diesem Knoten ausgestoßen werden.
Daher kann der elektrische Strom nicht aus dem Nichts entstehen, alles basiert auf Energieeinsparung. Der Strom, der in einen Knoten eintritt, muss auf die Zweige dieses Knotens verteilt werden. Das erste Gesetz von Kirchhoff kann mathematisch folgendermaßen ausgedrückt werden:
Das heißt, die Summe der ankommenden Ströme zu einem Knoten ist gleich der Summe der abgehenden Ströme.
Der Knoten kann keine Elektronen erzeugen oder sie absichtlich aus dem Stromkreis entfernen; Das heißt, der gesamte Elektronenfluss bleibt konstant und wird über den Knoten verteilt.
Nun kann die Verteilung der Ströme von einem Knoten abhängig vom Widerstand des Stromflusses, den jeder Zweig hat, variieren.
Der Widerstand wird in Ohm [Ω] gemessen, und je höher der Widerstand gegen den Stromfluss ist, desto geringer ist die Intensität des elektrischen Stroms, der durch diesen Zweig fließt.
Abhängig von den Eigenschaften des Stromkreises und jeder der elektrischen Komponenten, aus denen er besteht, nimmt der Strom unterschiedliche Zirkulationswege ein.
Der Elektronenfluss findet in jedem Pfad mehr oder weniger Widerstand und dies beeinflusst direkt die Anzahl der Elektronen, die durch jeden Zweig zirkulieren.
Somit kann die Größe des elektrischen Stroms in jedem Zweig variieren, abhängig vom elektrischen Widerstand, der in jedem Zweig vorhanden ist.
Beispiel
Im Folgenden haben wir eine einfache elektrische Baugruppe, in der Sie die folgende Konfiguration haben:
Die Elemente, aus denen die Schaltung besteht, sind:
- V: Spannungsquelle von 10 V (Gleichstrom).
- R1: 10 Ohm Widerstand.
- R2: Widerstand von 20 Ohm.
Beide Widerstände sind parallel geschaltet, und der von der Spannungsquelle in das System eingespeiste Strom verzweigt sich zu den Widerständen R1 und R2 am Knoten N1.
Nach dem Kirchhoffschen Gesetz muss die Summe aller ankommenden Ströme im Knoten N1 gleich der Summe der abgehenden Ströme sein; Auf diese Weise haben Sie Folgendes:
Es ist vorab bekannt, dass bei gegebener Konfiguration der Schaltung die Spannung in beiden Zweigen gleich ist; das heißt, die von der Quelle gelieferte Spannung, da es sich um zwei parallele Maschen handelt.
Folglich können wir den Wert von I1 und I2 berechnen, indem wir das Ohmsche Gesetz anwenden, dessen mathematischer Ausdruck wie folgt lautet:
Zur Berechnung von I1 muss dann der Wert der von der Quelle gelieferten Spannung durch den Wert des Widerstands dieses Zweigs dividiert werden. Wir haben also folgendes:
Analog zur vorherigen Berechnung wird zur Ermittlung des durch den zweiten Zweig fließenden Stroms die Spannung der Quelle durch den Wert des Widerstands R2 dividiert. Auf diese Weise müssen Sie:
Der von der Quelle (IT) gelieferte Gesamtstrom ist dann die Summe der zuvor ermittelten Größen:
In Parallelschaltungen ergibt sich der Widerstand des Ersatzschaltbildes aus dem folgenden mathematischen Ausdruck:
Somit ist der Ersatzwiderstand der Schaltung der folgende:
Schließlich kann der Gesamtstrom durch den Quotienten zwischen der Spannung der Quelle und dem äquivalenten Gesamtwiderstand der Schaltung bestimmt werden. Also:
Das Ergebnis beider Methoden stimmt überein, was eine praktische Anwendung von Kirchhoffs erstem Gesetz zeigt.
Zweites Gesetz von Kirchhoff
Kirchhoffs zweiter Hauptsatz besagt, dass die algebraische Summe aller Spannungen in einem geschlossenen Regelkreis gleich Null sein muss. Mathematisch ausgedrückt ist Kirchhoffs zweiter Hauptsatz wie folgt zusammengefasst:
Die Tatsache, dass es sich um die algebraische Summe handelt, impliziert die Beachtung der Polaritäten der Energiequellen sowie der Vorzeichen der Spannungsabfälle an jeder elektrischen Komponente des Stromkreises.
Daher müssen wir bei der Anwendung dieses Gesetzes in Bezug auf die Richtung der Stromzirkulation und folglich auf die Vorzeichen der im Netz enthaltenen Spannungen sehr vorsichtig sein.
Dieses Gesetz basiert auch auf dem Gesetz der Energieerhaltung, da festgestellt wird, dass jedes Netz ein geschlossener leitender Pfad ist, auf dem kein Potential erzeugt wird oder verloren geht.
Folglich muss die Summe aller Spannungen um diesen Pfad Null sein, um die Energiebilanz der Schaltung innerhalb der Schleife zu berücksichtigen.
Gesetz der Ladungserhaltung
Das zweite Gesetz von Kirchhoff folgt ebenfalls dem Gesetz der Erhaltung der Last, da die Elektronen beim Durchströmen eines Stromkreises eine oder mehrere Komponenten durchlaufen.
Diese Komponenten (Widerstände, Induktivitäten, Kondensatoren usw.) gewinnen oder verlieren je nach Art des Elements Energie. Das Obige ist auf die Vorbereitung eines Werkes aufgrund der Einwirkung von mikroskopischen elektrischen Kräften zurückzuführen.
Das Auftreten eines Potentialabfalls ist auf die Ausführung einer Arbeit innerhalb jeder Komponente als Reaktion auf die Energie zurückzuführen, die von einer Quelle entweder in Gleich- oder Wechselstrom geliefert wird.
In empirischer Weise - das ist dank experimenteller Ergebnisse - wird durch das Prinzip der Erhaltung der elektrischen Ladung festgestellt, dass diese Art von Ladung nicht erzeugt oder zerstört wird.
Wenn ein System mit elektromagnetischen Feldern wechselwirkt, bleibt die zugehörige Ladung in einem Netz oder einer geschlossenen Schleife in ihrer Gesamtheit erhalten.
Wenn also alle Spannungen in einer geschlossenen Schleife addiert werden, muss das Ergebnis unter Berücksichtigung der Spannung der Erzeugungsquelle (falls dies der Fall ist) und des Spannungsabfalls an jeder Komponente Null sein.
Beispiel
Analog zum vorherigen Beispiel haben wir die gleiche Schaltungskonfiguration:
Die Elemente, aus denen die Schaltung besteht, sind:
- V: Spannungsquelle von 10 V (Gleichstrom).
- R1: 10 Ohm Widerstand.
- R2: Widerstand von 20 Ohm.
Diesmal sind die geschlossenen Schleifen oder Schaltungsnetze im Diagramm hervorgehoben. Es geht um zwei komplementäre Bindungen.
Die erste Schleife (Masche 1) wird durch die 10-V-Batterie auf der linken Seite der Baugruppe gebildet, die parallel zum Widerstand R1 liegt. Andererseits wird die zweite Schleife (Masche 2) durch die Konfiguration der zwei Widerstände (R1 und R2) parallel gebildet.
Im Vergleich zum Beispiel von Kirchhoffs erstem Gesetz wird für die Zwecke dieser Analyse angenommen, dass für jedes Netz ein Strom vorhanden ist.
Gleichzeitig wird die durch die Polarität der Spannungsquelle geführte Umlaufrichtung des Stroms als Referenz angenommen. Das heißt, es wird angenommen, dass der Strom vom negativen Pol der Quelle zum positiven Pol der Quelle fließt.
Für die Komponenten ist die Analyse jedoch umgekehrt. Dies impliziert, dass wir annehmen werden, dass der Strom durch den positiven Pol der Widerstände eintritt und durch den negativen Pol derselben austritt.
Wenn jedes Gitter separat analysiert wird, werden ein Zirkulationsstrom und eine Gleichung für jede der geschlossenen Schleifen des Stromkreises erhalten.
Ausgehend von der Voraussetzung, dass jede Gleichung aus einem Netz abgeleitet ist, in dem die Summe der Spannungen gleich Null ist, ist es möglich, beide Gleichungen zu entzerren, um die Unbekannten zu beseitigen. Für das erste Netz geht die Analyse nach Kirchhoffs zweitem Gesetz von Folgendem aus:
Die Subtraktion zwischen Ia und Ib repräsentiert den tatsächlichen Strom, der durch den Zweig fließt. Das Vorzeichen ist angesichts der Richtung der Stromzirkulation negativ. Dann folgt im Fall des zweiten Netzes der folgende Ausdruck:
Die Subtraktion zwischen Ib und Ia stellt den Strom dar, der durch diesen Zweig fließt, unter Berücksichtigung der Änderung der Zirkulationsrichtung. Es ist erwähnenswert, wie wichtig algebraische Zeichen bei dieser Art von Operationen sind.
Wenn Sie also beide Ausdrücke entzerren, da die beiden Gleichungen gleich Null sind, haben wir Folgendes:
Sobald eines der Unbekannten gelöscht ist, ist es möglich, eine der Netzgleichungen zu verwenden und die verbleibende Variable zu löschen. Wenn man also den Wert von Ib in die Gleichung der Masche 1 einsetzt, ist es notwendig, dass:
Aus der Bewertung des Ergebnisses der Analyse des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes geht hervor, dass die Schlussfolgerung dieselbe ist.
Ausgehend von dem Prinzip, dass der Strom, der durch den ersten Zweig (I1) fließt, gleich der Subtraktion von Ia minus Ib ist, müssen wir:
Es ist offensichtlich, dass das Ergebnis, das durch die Anwendung der beiden Gesetze von Kirchhoff erzielt wird, genau dasselbe ist. Beide Prinzipien schließen sich nicht aus. Im Gegenteil, sie ergänzen sich gegenseitig.
