Dimensionsanalyse: Techniken, Prinzip der Homogenität und Übungen

Die Dimensionsanalyse ist ein in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik weit verbreitetes Werkzeug, um die Phänomene, bei denen unterschiedliche physikalische Größen auftreten, besser zu verstehen. Die Größen haben Abmessungen und daraus werden die verschiedenen Maßeinheiten abgeleitet.

Den Ursprung des Dimensionsbegriffs hat der französische Mathematiker Joseph Fourier, der ihn geprägt hat. Fourier hat auch verstanden, dass zwei Gleichungen, um vergleichbar zu sein, in Bezug auf ihre Dimensionen homogen sein müssen. Das heißt, Sie können keine Meter mit Kilogramm addieren.

Die Dimensionsanalyse ist daher für die Untersuchung der Größen, Dimensionen und Homogenität physikalischer Gleichungen verantwortlich. Aus diesem Grund werden häufig Zusammenhänge und Berechnungen überprüft oder Hypothesen zu komplizierten Fragen aufgestellt, die anschließend experimentell getestet werden können.

Auf diese Weise ist die Dimensionsanalyse ein perfektes Werkzeug, um Fehler in den Berechnungen zu erkennen, wenn die Kongruenz oder Inkongruenz der in ihnen verwendeten Einheiten überprüft wird, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf den Einheiten der Endergebnisse liegt.

Darüber hinaus werden mithilfe der Dimensionsanalyse systematische Experimente projiziert. Dies ermöglicht es, die Anzahl der erforderlichen Experimente zu verringern und die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse zu erleichtern.

Eine der fundamentalen Grundlagen der Dimensionsanalyse besteht darin, dass es möglich ist, jede physikalische Größe als Produkt der Potenzen einer kleineren Größe darzustellen, die als fundamentale Größen bezeichnet werden, aus denen die anderen Größen abgeleitet werden.

Grundgrößen und Maßformel

In der Physik werden grundlegende Größen als solche betrachtet, die es anderen ermöglichen, sich in diesen Größen auszudrücken. Konventionell wurde folgendes gewählt: die Länge (L), die Zeit (T), die Masse (M), die elektrische Stromstärke (I), die Temperatur (θ), die Lichtstärke (J) und Stoffmenge (N).

Im Gegenteil, der Rest gilt als abgeleitete Größe. Einige davon sind unter anderem: Fläche, Volumen, Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung.

Es ist definiert als eine dimensionale Formel zur mathematischen Gleichheit, die die Beziehung darstellt, die zwischen einer abgeleiteten Größe und den fundamentalen Größen auftritt.

Dimensionsanalysetechniken

Es gibt verschiedene Techniken oder Methoden der Dimensionsanalyse. Zwei der wichtigsten sind die folgenden:

Rayleigh-Methode

Rayleigh, der neben Fourier, einem der Vorläufer der Dimensionsanalyse, stand, entwickelte eine direkte und sehr einfache Methode, mit der wir dimensionslose Elemente erhalten. Bei dieser Methode werden die folgenden Schritte ausgeführt:

1- Die mögliche Zeichenfunktion der abhängigen Variablen ist definiert.

2- Jede Variable wird durch ihre entsprechenden Abmessungen geändert.

3- Die Gleichungen der Homogenitätsbedingung werden aufgestellt.

4- Die np Unbekannten sind behoben.

5- Ersetzen Sie die berechneten und in der Potentialgleichung festgelegten Exponenten.

6- Verschieben Sie die Variablengruppen, um die dimensionslosen Zahlen zu definieren.

Buckingham-Methode

Diese Methode basiert auf dem Buckingham-Theorem oder Pi-Theorem, das Folgendes besagt:

Wenn auf einer homogenen Dimensionsebene eine Beziehung zwischen einer Anzahl "n" physikalischer Größen oder Variablen besteht, bei denen "p" verschiedene Grunddimensionen auftreten, gibt es auch eine Homogenitätsbeziehung zwischen n-p unabhängigen dimensionslosen Gruppen.

Prinzip der Dimensionshomogenität

Das Fourier-Prinzip, auch bekannt als das Prinzip der dimensionalen Homogenität, beeinflusst die korrekte Strukturierung von Ausdrücken, die physikalische Größen algebraisch verknüpfen.

Es ist ein Prinzip, das mathematisch konsistent ist und besagt, dass die einzige Möglichkeit darin besteht, physikalische Größen gleicher Art zu subtrahieren oder zusammen zu addieren. Daher ist es nicht möglich, eine Masse mit einer Länge oder einer Zeit mit einer Oberfläche usw. hinzuzufügen.

In ähnlicher Weise besagt das Prinzip, dass die Gesamtterme der Mitglieder der beiden Seiten der Gleichheit dieselbe Dimension haben müssen, damit die physikalischen Gleichungen auf der Ebene der Dimensionen korrekt sind. Dieses Prinzip ermöglicht es, die Kohärenz der physikalischen Gleichungen zu gewährleisten.

Prinzip der Ähnlichkeit

Das Ähnlichkeitsprinzip ist eine Erweiterung des Homogenitätscharakters auf der Dimensionsebene der physikalischen Gleichungen. Es heißt wie folgt:

Die physikalischen Gesetze bleiben gegenüber der Änderung der Dimensionen (Größe) einer physikalischen Tatsache im selben Einheitensystem unverändert, unabhängig davon, ob es sich um Änderungen eines realen oder eines imaginären Charakters handelt.

Die klarste Anwendung des Ähnlichkeitsprinzips findet sich in der Analyse der physikalischen Eigenschaften eines Modells in kleinerem Maßstab, um die Ergebnisse später in realer Größe im Objekt zu verwenden.

Diese Praxis ist in Bereichen wie dem Entwurf und der Herstellung von Flugzeugen und Schiffen sowie in großen hydraulischen Werken von grundlegender Bedeutung.

Anwendungen

Unter den vielen Anwendungen der Dimensionsanalyse können wir die unten aufgeführten hervorheben.

- Finden Sie mögliche Fehler in den durchgeführten Operationen

- Lösen Sie Probleme, deren Lösung mit unüberwindlichen mathematischen Schwierigkeiten verbunden ist.

- Entwerfen und analysieren Sie Modelle in verkleinertem Maßstab.

- Beobachten Sie, wie sich die möglichen Änderungen in einem Modell auswirken.

Darüber hinaus wird die Dimensionsanalyse häufig für die Untersuchung der Strömungsmechanik verwendet.

Die Relevanz der Dimensionsanalyse in der Strömungsmechanik beruht auf der Schwierigkeit, Gleichungen in bestimmten Strömungen aufzustellen, sowie auf der Schwierigkeit, sie zu lösen, so dass es unmöglich ist, empirische Beziehungen zu erhalten. Aus diesem Grund muss auf die experimentelle Methode zurückgegriffen werden.