Areolare Geschwindigkeit: Was es ist, wie es berechnet und Aufgaben gelöst

Die Areolargeschwindigkeit ist die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche und ist konstant. Es ist für jeden Planeten einzigartig und ergibt sich aus der Beschreibung von Keplers zweitem Gesetz in mathematischer Form. In diesem Artikel erklären wir, was es ist und wie es berechnet wird.

Der Boom, der die Entdeckung von Planeten außerhalb des Sonnensystems darstellt, hat das Interesse an der Planetenbewegung wiederbelebt. Nichts lässt uns glauben, dass diese Exoplaneten anderen Gesetzen folgen als den Gesetzen, die im Sonnensystem bereits bekannt und gültig sind: Keplers Gesetze.

Johannes Kepler war der Astronom, der ohne Hilfe des Teleskops und unter Verwendung der Beobachtungen seines Mentors Tycho Brahe ein mathematisches Modell erstellte, das die Bewegung der Planeten um die Sonne beschreibt.

Er verließ dieses Modell in den drei Gesetzen, die seinen Namen tragen und die bis heute so aktuell sind wie im Jahr 1609, als er die ersten beiden gründete, und im Jahr 1618, als er das dritte verkündete.

Keplers Gesetze

In der aktuellen Sprache sagen Keplers drei Gesetze:

1. Die Umlaufbahnen aller Planeten sind elliptisch und die Sonne ist im Fokus.

2. Der Positionsvektor, der von der Sonne zu einem Planeten geht, überstreicht gleiche Bereiche zu gleichen Zeiten.

3. Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zum Würfel des größeren Halbalters der beschriebenen Ellipse.

Ein Planet wird eine lineare Geschwindigkeit haben, genau wie jedes bekannte Objekt, das sich bewegt. Und es gibt noch mehr: Wenn man Keplers zweites Gesetz in mathematischer Form schreibt, entsteht ein neues Konzept namens Areolargeschwindigkeit, das für jeden Planeten spezifisch ist.

Warum bewegen sich Planeten elliptisch um die Sonne?

Die Erde und die anderen Planeten bewegen sich um die Sonne herum, weil sie eine Kraft auf sie ausüben: die Anziehungskraft der Schwerkraft. Dasselbe passiert mit jedem anderen Stern und den Planeten, aus denen Ihr System besteht, wenn Sie sie haben.

Dies ist eine Kraft des Typs, der als zentrale Kraft bekannt ist. Gewicht ist eine zentrale Kraft, mit der jeder vertraut ist. Das Objekt, das die zentrale Kraft ausübt, sei es die Sonne oder ein entfernter Stern, zieht die Planeten in Richtung ihres Zentrums und diese bewegen sich in einer geschlossenen Kurve.

Im Prinzip kann diese Kurve als Umfang angenähert werden, ebenso wie Nicolaus Copernicus, ein polnischer Astronom, der die heliozentrische Theorie erstellt hat.

Die verantwortliche Kraft ist die Anziehungskraft. Diese Kraft hängt direkt von den Massen des Sterns und des betreffenden Planeten ab und ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung, die sie voneinander trennt.

Das Problem ist nicht so einfach, weil in einem Sonnensystem alle Elemente auf diese Weise zusammenwirken, was das Problem komplexer macht. Außerdem sind sie keine Partikel, da Sterne und Planeten messbare Größen haben.

Aus diesem Grund ist der Mittelpunkt der Umlaufbahn oder des Kreises, den die Planeten durchlaufen, nicht genau auf den Stern zentriert, sondern auf einen Punkt, der als Schwerpunkt des Sonnen-Planeten-Systems bekannt ist.

Die resultierende Umlaufbahn ist elliptisch. Das folgende Bild zeigt es am Beispiel der Erde und der Sonne:

Aphelion ist die am weitesten von der Erde zur Sonne entfernte Position, während Perihelion der nächstgelegene Punkt ist. Die Ellipse kann je nach den Eigenschaften des Stern - Planeten - Systems mehr oder weniger abgeflacht sein.

Die Werte von Aphel und Perihel variieren jährlich, da die anderen Planeten Störungen verursachen. Für andere Planeten werden diese Positionen als Apoastro bzw. Periastro bezeichnet.

Die Größe der Lineargeschwindigkeit eines Planeten ist nicht konstant

Kepler entdeckte, dass ein Planet, wenn er die Sonne umkreist, während seiner Bewegung gleiche Bereiche zu gleichen Zeiten überstreicht. Abbildung 2 zeigt grafisch die Bedeutung davon:

Mathematisch ausgedrückt ist die Tatsache, dass A ₁ gleich A ₂ ist, wie folgt:

Die durchquerten Bögen Δs sind klein, so dass sich jeder Bereich dem eines Dreiecks annähern kann:

Als Δs = v Δt, wobei v die lineare Geschwindigkeit des Planeten an einem gegebenen Punkt ist, haben wir beim Ersetzen:

Und da das Zeitintervall Δt dasselbe ist, erhalten wir:

Da r ₂ > r ₁, dann v ₁ > v ₂, ist mit anderen Worten die Lineargeschwindigkeit eines Planeten nicht konstant. Tatsächlich geht die Erde schneller, wenn sie sich im Perihel befindet, als wenn sie sich im Aphel befindet.

Daher ist die lineare Geschwindigkeit der Erde oder eines Planeten um die Sonne keine Größe, die dazu dient, die Bewegung dieses Planeten zu charakterisieren.

Die Areolargeschwindigkeit

Keplers zweiter Hauptsatz schlägt eine neue Größe vor, die Areolargeschwindigkeit genannt wird. Es ist definiert als die pro Zeiteinheit durchlaufene Fläche und ist konstant. Zur Berechnung wird die folgende Abbildung verwendet:

Ein kleiner Bereich, der von der Erde überstrichen wird, wird ausgewählt, während die elliptische Schaltung ausgeführt wird, die wir als ΔA bezeichnen werden. Die dafür benötigte Zeit ist Δt.

3 zeigt den Positionsvektor der Erde in Bezug auf die Sonne, bezeichnet mit r. Wenn sich die Erde bewegt, erfährt sie eine Verschiebung Δr.

Diese Fläche entspricht der Hälfte der Fläche des in Abbildung 3 gezeigten Rechtecks:

Der Quotient Δr / Δt ist genau die lineare Geschwindigkeit der Erde, daher bleibt die Areolargeschwindigkeit wie folgt:

Die Einheiten von v _A im internationalen System sind:

Beachten Sie, dass sowohl r als auch v variieren, das Produkt jedoch konstant bleibt. Dies wandelt die Areolargeschwindigkeit in eine sehr ausreichende Größe um, um die Bewegung eines Planeten um seinen Stern zu charakterisieren.

Das Produkt von r und v ist die Größe des Drehimpulses L, so dass die areolare Geschwindigkeit ausgedrückt werden kann als:

Berechnung der Lineargeschwindigkeit und der Areolargeschwindigkeit

Mit dem folgenden Beispiel zeigen wir, wie die Areolargeschwindigkeit berechnet wird, wenn wir einige Parameter der Planetenbewegung kennen:

Übung

Ein Exoplanet bewegt sich gemäß Keplers Gesetzen auf einer elliptischen Umlaufbahn um seine Sonne. Wenn es sich im Periastrum befindet, beträgt sein Funkvektor r ₁ = 4 · 10 7 km, und wenn es sich im Apoaster befindet, beträgt es r ₂ = 15 · 10 7 km. Die lineare Geschwindigkeit an seinem Periaster beträgt v ₁ = 1000 km / s.

Berechnen:

A) Die Größe der Geschwindigkeit im Apoastro.

B) Die Areolargeschwindigkeit des Exoplaneten.

C) Die Länge der Hauptachse der Ellipse.

Antwort A)

Die Gleichung wird verwendet:

in denen die Zahlenwerte substituiert sind.

Jeder Begriff wird wie folgt identifiziert:

v ₁ = Geschwindigkeit in Apoastro; v ₂ = Geschwindigkeit im Periather; r ₁ = Abstand vom Apoaster,

r ₂ = Abstand des Periasters.

Mit diesen Werten erhalten Sie:

Antwort B)

Die zu verwendende Gleichung lautet

wobei das Wertepaar r und v des Periastro oder Apoastro eingesetzt werden kann, da VA eine Konstante des Planeten ist:

Antwort C)

Die Länge der Hauptachse der Ellipse ist der Halbgipfel von Apoaster und Periastrum:

Bibliographie

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1 Mexiko Binden Sie Learning Publishers ein. 367-372.
2. Stern, D. (2005). Die drei Kepler-Gesetze der Planetenbewegung. Abgerufen von pwg.gsfc.nasa.gov
3. Hinweis: Die vorgeschlagene Übung wurde aus dem folgenden Text in einem McGrawHill-Buch übernommen und geändert. Leider handelt es sich um ein isoliertes Kapitel im PDF-Format ohne Titel oder Autor: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf