Winkelgeschwindigkeit: Definition, Formel, wie sie berechnet und Aufgaben gelöst werden
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Maß für die Rotationsgeschwindigkeit und wird als der Winkel definiert, der den Positionsvektor des rotierenden Objekts pro Zeiteinheit dreht. Es ist eine Größe, die sehr gut die Bewegung einer Vielzahl von Objekten beschreibt, die sich ständig überall drehen: CDs, Autoräder, Maschinen, Erde und viele mehr.
Ein Schema des «London Eye» ist in der folgenden Abbildung zu sehen. Es stellt die Bewegung eines Passagiers dar, der durch den Punkt P dargestellt wird, der der Kreisbahn mit der Bezeichnung c folgt :
Beziehung zwischen linearer und Winkelgeschwindigkeit
Die lineare Geschwindigkeit v ist der Quotient zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit, die sie zurücklegt.
In der obigen Abbildung ist der Lichtbogenweg Δs. Dieser Bogen ist jedoch proportional zum zurückgelegten Winkel und zum Radius und erfüllt die folgende Beziehung, die gültig ist, wenn Δφ im Bogenmaß gemessen wird:
Δs = r · Δφ
Wenn wir den vorherigen Ausdruck zwischen dem Zeitraffer Δt und dem Grenzwert für Δt ➡0 aufteilen, erhalten wir:
v = r · ω
Gleichmäßige Drehbewegung
Bei einer vollen Umdrehung beträgt der zurückgelegte Winkel 2π (entspricht 360º). Daher wird bei einer gleichmäßigen Drehung die Winkelgeschwindigkeit & ohgr; mit der Periode T mittels der folgenden Formel in Beziehung gesetzt:
f = 1 / T
Das heißt, bei einer gleichmäßigen Drehung wird die Winkelgeschwindigkeit mit der Frequenz in Beziehung gesetzt durch:
ω = 2π · f
Gelöste Winkelgeschwindigkeitsübungen
Übung 1
Die Kabinen des großen rotierenden Rades, bekannt als " The London Eye ", bewegen sich langsam. Die Geschwindigkeit der Kabinen beträgt 26 cm / s und das Rad hat einen Durchmesser von 135 m.
Berechnen Sie mit diesen Daten:
i) Die Winkelgeschwindigkeit des Rades
ii) Die Rotationsfrequenz
iii) Die Zeit, die eine Kabine benötigt, um den Kreis zu schließen.
Antworten:
i) Die Geschwindigkeit v in m / s beträgt: v = 26 cm / s = 0, 26 m / s.
Der Radius beträgt die Hälfte des Durchmessers: r = (135 m) / 2 = 67, 5 m
v = r & ohgr; => & ohgr; = v / r = (0, 26 m / s) / (67, 5 m) = 0, 00385 rad / s
ii) ω = 2π · f => f = ω / 2π = (0, 00385 rad / s) / (2π rad) = 6, 13 · 10 & supmin; & sup4; Umdrehungen / s
f = 6, 13 · 10 & supmin; & sup4; Umdrehungen / s = 0, 0368 Umdrehungen / min = 2, 21 Umdrehungen / Stunde.
iii) T = 1 / f = 1 / 2, 21 Umdrehung / Stunde = 0, 455311 Stunde = 27 min 11 sec
Übung 2
Ein Spielzeugauto fährt auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 2 m. Bei 0 s ist seine Winkelposition 0 rad, aber nach einer Zeit t ist seine Winkelposition gegeben durch:
φ (t) = 2 · t
Bestimmen Sie:
i) Die Winkelgeschwindigkeit
ii) Lineargeschwindigkeit zu jeder Zeit.
Antworten:
i) Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung der Winkelposition: ω = φ '(t) = 2.
Das heißt, das Spielzeugauto hat zu jeder Zeit eine konstante Winkelgeschwindigkeit von 2 rad / s.
ii) Die lineare Geschwindigkeit des Autos beträgt: v = r · ω = 2 m · 2 rad / s = 4 m / s = 14, 4 km / h
Übung 3
Das gleiche Auto aus der vorherigen Übung stoppt. Seine Winkelstellung als Funktion der Zeit ergibt sich aus dem folgenden Ausdruck:
φ (t) = 2 · t - 0, 5 · t2
Bestimmen Sie:
i) Die Winkelgeschwindigkeit zu jeder Zeit
ii) Lineargeschwindigkeit zu jeder Zeit
iii) Die Zeit, die benötigt wird, um anzuhalten, sobald die Verzögerung einsetzt
iv) Der zurückgelegte Winkel
v) zurückgelegte Strecke
Antworten:
i) Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung der Winkelposition: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 · t - 0, 5 · t2)' = 2 - t
ii) Die lineare Geschwindigkeit des Fahrzeugs ist jederzeit gegeben durch:
v (t) = r · & ohgr; (t) = 2 · (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Die Zeit, die benötigt wird, um von dem Moment an anzuhalten, an dem die Verzögerung einsetzt, wird durch Kenntnis des Zeitpunkts bestimmt, in dem die Geschwindigkeit v (t) Null wird.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
Das heißt, es stoppt 2 Sekunden nach dem Bremsbeginn.
iv) In der Zeitspanne von 2 s, von dem Moment an, in dem es zu bremsen beginnt, bis es anhält, wird ein durch φ (2) gegebener Winkel zurückgelegt:
φ (2) = 2 · 2 - 0, 5 · 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 · 180 / π = 114, 6 Grad
v) In der Zeitspanne von 2 s vom Beginn der Bremsung bis zum Stillstand wird ein Abstand s angegeben durch:
s = r · φ = 2 m · 2 rad = 4 m
Übung 4
Die Räder eines Autos haben einen Durchmesser von 80 cm. Wenn das Auto auf 100 km / h fährt. Finden Sie: i) die Drehwinkelgeschwindigkeit der Räder, ii) die Drehfrequenz der Räder, iii) die Anzahl der Umdrehungen, die das Rad in einer Stunde macht.
Antworten:
i) Lassen Sie uns zuerst die Geschwindigkeit des Autos in km / h / s umrechnen
v = 100 km / h = (100 / 3, 6) m / s = 27, 78 m / s
Die Winkelgeschwindigkeit der Räder ist gegeben durch:
ω = v / r = (27, 78 m / s) / (0, 4 m) = 69, 44 rad / s
ii) Die Rotationsfrequenz der Räder ist gegeben durch:
f = ω / 2π = (69, 44 rad / s) / (2π rad) = 11, 05 Umdrehungen / s
Die Rotationsfrequenz wird üblicherweise in Umdrehungen pro Minute U / min ausgedrückt
f = 11, 05 Umdrehungen / s = 11, 05 Umdrehungen / (1/60) min = 663, 15 U / min
iii) Die Anzahl der Umdrehungen, die das Rad in einer 1-stündigen Fahrt macht, wird berechnet, wenn man weiß, dass 1 Stunde = 60 Minuten ist und dass die Frequenz die Anzahl der Umdrehungen N geteilt durch die Zeit ist, in der diese N Umdrehungen gegeben sind.
f = N / t => N = f · t = 663, 15 (Umdrehungen / min) x 60 min = 39788, 7 Umdrehungen.
