Torricellis Theorem: Woraus besteht es, Formeln und gelöste Aufgaben

Torricellis Theorem oder Torricellis Prinzip besagt, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die durch das Loch in der Wand eines Tanks oder Behälters austritt, mit der Geschwindigkeit identisch ist, die ein Objekt erfasst, das aus einer Höhe frei fallen darf, die der der Oberfläche entspricht Frei von der Flüssigkeit zum Loch.

Der Satz ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Aufgrund des Satzes von Torricelli können wir dann bestätigen, dass die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsaustritts durch eine Öffnung, die sich in der Höhe h unterhalb der freien Oberfläche der Flüssigkeit befindet, durch die folgende Formel gegeben ist:

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und h die Höhe vom Loch bis zur freien Oberfläche der Flüssigkeit.

Evangelista Torricelli war ein Physiker und Mathematiker, der 1608 in Faenza, Italien, geboren wurde. Torricelli wird die Erfindung des Quecksilberbarometers zugeschrieben, und in Anerkennung gibt es eine Druckeinheit namens "Torr", die einem Millimeter Quecksilber entspricht (Hg mm).

Demonstration des Satzes

In Torricellis Theorem und in der Formel, die die Geschwindigkeit angibt, wird angenommen, dass die Viskositätsverluste vernachlässigbar sind, ebenso wie im freien Fall angenommen wird, dass die Reibung aufgrund der Luft, die das fallende Objekt umgibt, unbedeutend ist.

Die obige Annahme ist in den meisten Fällen vernünftig und beinhaltet auch die Erhaltung der mechanischen Energie.

Um den Satz zu beweisen, werden wir zuerst die Geschwindigkeitsformel für ein Objekt finden, das mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Null aus derselben Höhe wie die Flüssigkeitsoberfläche im Reservoir freigesetzt wird.

Das Prinzip der Energieerhaltung wird angewendet, um die Geschwindigkeit des fallenden Objekts zu erhalten, sobald eine Höhe h abgefallen ist, die der Höhe vom Loch zur freien Oberfläche entspricht.

Da es keine Reibungsverluste gibt, gilt das Prinzip der Erhaltung der mechanischen Energie. Angenommen, der fallende Gegenstand hat eine Masse m und die Höhe h wird vom Flüssigkeitsaustrittspegel aus gemessen.

Fallen Gegenstand

Wenn das Objekt aus einer Höhe freigesetzt wird, die der Höhe der freien Oberfläche der Flüssigkeit entspricht, ist seine Energie nur das Gravitationspotential, da seine Geschwindigkeit Null und daher seine kinetische Energie Null ist. Die potentielle Energie Ep ist gegeben durch:

Ep = mgh

Wenn es an dem Loch vorbeigeht, ist seine Höhe Null, dann ist die potentielle Energie Null, so dass es nur eine kinetische Energie Ec hat, die gegeben ist durch:

Ec = 1/2 m v2

Da die Energie erhalten bleibt, ist Ep = Ec von dem, was erhalten wird:

½ m v2 = mgh

Wenn Sie die Geschwindigkeit v löschen, erhalten Sie die Torricelli-Formel:

Flüssigkeit, die aus dem Loch austritt

Als nächstes finden wir die Austrittsgeschwindigkeit der Flüssigkeit durch die Öffnung, um zu zeigen, dass sie mit der übereinstimmt, die gerade für ein frei fallendes Objekt berechnet wurde.

Dabei stützen wir uns auf das Bernoulli-Prinzip, das nichts anderes ist als die Energieeinsparung bei Flüssigkeiten.

Das Bernoulli-Prinzip lautet wie folgt:

Die Interpretation dieser Formel lautet wie folgt:

Der erste Term repräsentiert die kinetische Energie des Fluids pro Volumeneinheit
Die zweite repräsentiert die Arbeit, die durch den Druck pro Einheit Querschnittsfläche geleistet wird
Die dritte gibt die potentielle Energie der Schwerkraft pro Volumeneinheit an.

Ausgehend von der Annahme, dass es sich um ein ideales Fluid handelt, ist es unter nicht turbulenten Bedingungen mit relativ niedrigen Geschwindigkeiten angebracht, zu bestätigen, dass die mechanische Energie pro Volumeneinheit im Fluid in allen Bereichen oder Querschnitten konstant ist.

In dieser Formel ist V die Geschwindigkeit des Fluids, ρ die Dichte des Fluids, P der Druck und z die vertikale Position.

In der folgenden Abbildung ist die auf dem Bernoulli-Prinzip basierende Torricelli-Formel dargestellt.

Wir wenden die Bernoulli-Formel auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit an, die wir mit (1) bezeichnen, und auf das Austrittsloch, das wir mit (2) bezeichnen. Die Höhe Null wurde bündig mit der Austrittsöffnung gewählt.

Unter der Voraussetzung, dass der Querschnitt in (1) viel größer ist als in (2), kann man dann davon ausgehen, dass die Sinkgeschwindigkeit der Flüssigkeit in (1) praktisch vernachlässigbar ist.

Aus diesem Grund wurde V ₁ = 0 gesetzt, der Druck, dem die Flüssigkeit in (1) ausgesetzt ist, ist der atmosphärische Druck und die von der Öffnung aus gemessene Höhe ist h .

Für den Ausgabeabschnitt (2) nehmen wir an, dass die Ausgabedrehzahl v ist, der Druck, dem die Flüssigkeit der Ausgabe ausgesetzt ist, auch der atmosphärische Druck ist und die Ausgabehöhe Null ist.

Die Werte, die den Abschnitten (1) und (2) in der Bernoulli-Formel entsprechen, werden ersetzt und ausgeglichen. Gleichheit gilt, weil wir davon ausgehen, dass die Flüssigkeit ideal ist und keine viskosen Reibungsverluste auftreten. Sobald alle Begriffe vereinfacht wurden, wird die Geschwindigkeit am Austrittsloch erhalten.

Das vorige Feld zeigt, dass das erhaltene Ergebnis dem eines frei fallenden Objekts entspricht.

Gelöste Übungen

Übung 1

I ) Das kleine Auslaufrohr eines Wassertanks befindet sich 3 m unter der Wasseroberfläche. Berechnen Sie die Wasseraustrittsgeschwindigkeit.

Lösung:

Die folgende Abbildung zeigt, wie die Torricelli-Formel für diesen Fall gilt.

Übung 2

II ) Unter der Annahme, dass das Auslassrohr des Tanks der vorherigen Übung einen Durchmesser von 1 cm hat, berechnen Sie den Wasserauslassfluss.

Lösung:

Der Durchfluss ist das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit austritt, und wird einfach durch Multiplizieren der Fläche der Austrittsöffnung mit der Austrittsgeschwindigkeit berechnet.

Die folgende Abbildung zeigt die Details der Berechnung.