Bernoullis Theorem: Bernoullis Gleichung, Anwendungen und gelöste Aufgabe
Der Satz von Bernoulli, der das Verhalten einer sich bewegenden Flüssigkeit beschreibt, wurde von dem Mathematiker und Physiker Daniel Bernoulli in seiner Arbeit Hydrodynamics formuliert . Nach dem Prinzip hat ein ideales Fluid (ohne Reibung oder Viskosität), das in einer geschlossenen Leitung zirkuliert, eine konstante Energie auf seinem Weg.
Der Satz kann aus dem Prinzip der Energieerhaltung und sogar aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz abgeleitet werden. Darüber hinaus besagt das Bernoulli-Prinzip, dass eine Zunahme der Geschwindigkeit eines Fluids eine Abnahme des Drucks bedeutet, dem es ausgesetzt ist, eine Abnahme seiner potentiellen Energie oder beides gleichzeitig.
Der Satz hat viele verschiedene Anwendungen, sowohl in Bezug auf die Welt der Wissenschaft als auch auf das tägliche Leben der Menschen.
Ihre Folgen liegen unter anderem in der Stärke von Flugzeugen, in den Kaminen von Haushalten und Industriebetrieben sowie in Wasserleitungen.
Bernoulli-Gleichung
Obwohl Bernoulli den Schluss gezogen hat, dass der Druck mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit abnimmt, hat Leonhard Euler die Bernoulli-Gleichung tatsächlich in der Form entwickelt, wie sie derzeit bekannt ist.
Auf jeden Fall lautet Bernoullis Gleichung, die nichts anderes als der mathematische Ausdruck seines Theorems ist, wie folgt:
v2 ≤ / 2 + P + ≤ g ≤ z = konstant
In diesem Ausdruck ist v die Geschwindigkeit des Fluids durch den betrachteten Abschnitt, ƿ ist die Dichte des Fluids, P ist der Fluiddruck, g ist der Wert der Erdbeschleunigung und z ist die in der Richtung gemessene Höhe der Schwerkraft.
In der Bernoulli-Gleichung besteht die Energie eines Fluids implizit aus drei Komponenten:
- Eine kinetische Komponente, die das Ergebnis der Geschwindigkeit ist, mit der sich die Flüssigkeit bewegt.
- Eine potenzielle oder gravitative Komponente, die auf die Höhe zurückzuführen ist, in der sich die Flüssigkeit befindet.
- Eine Druckenergie, die das Fluid aufgrund des Drucks besitzt, dem es ausgesetzt ist.
Andererseits kann die Bernoulli-Gleichung auch so ausgedrückt werden:
v 1 2 ≤ / 2 + P 1 + ≤ g ≤ z 1 = v 2 2 ≤ / 2 + P 2 + ≤ g ≤ z 2
Dieser letzte Ausdruck ist sehr praktisch, um die Änderungen zu analysieren, die ein Fluid erfährt, wenn sich eines der Elemente, aus denen die Gleichung besteht, ändert.
Vereinfachte Form
In bestimmten Fällen ist die Änderung des Ausdrucks ρgz der Bernoulli-Gleichung im Vergleich zu den anderen Ausdrücken minimal, so dass es möglich ist, sie zu vernachlässigen. Dies geschieht beispielsweise in den Strömungen, die ein Flugzeug im Flug erfährt.
Bei diesen Gelegenheiten wird die Bernoulli-Gleichung wie folgt ausgedrückt:
P + q = P 0
In diesem Ausdruck ist q der dynamische Druck und ist gleich av 2 ≤ ≤ / 2, und P 0 ist der sogenannte Gesamtdruck und ist die Summe des statischen Drucks P und des dynamischen Drucks q.
Anwendungen
Der Satz von Bernoulli hat vielfältige Anwendungsmöglichkeiten auf so unterschiedlichen Gebieten wie Wissenschaft, Technik, Sport usw.
Eine interessante Anwendung findet sich in der Gestaltung von Kaminen. Die Schornsteine sind hoch gebaut, um einen größeren Druckunterschied zwischen dem Boden und dem Ausgang des Schornsteins zu erreichen, wodurch es einfacher ist, die Verbrennungsgase abzusaugen.
Natürlich gilt die Bernoulli-Gleichung auch für die Untersuchung der Bewegung von Flüssigkeitsströmen in Rohren. Aus der Gleichung folgt, dass eine Verringerung der Querschnittsfläche des Rohrs, um die Geschwindigkeit des durchströmenden Fluids zu erhöhen, auch eine Abnahme des Drucks impliziert.
Die Bernoulli-Gleichung wird auch in der Luftfahrt und in Fahrzeugen der Formel 1 verwendet. Im Fall der Luftfahrt ist der Bernoulli-Effekt der Ursprung der Flugzeugunterstützung.
Die Tragflächen des Flugzeugs sind mit dem Ziel konstruiert, eine größere Luftströmung im oberen Teil der Tragfläche zu erreichen.
Somit ist im oberen Teil des Flügels die Luftgeschwindigkeit hoch und damit der Unterdruck. Diese Druckdifferenz erzeugt eine vertikal nach oben gerichtete Kraft (Auftriebskraft), die es dem Flugzeug ermöglicht, sich in der Luft zu halten. Ein ähnlicher Effekt wird bei den Querrudern von Formel-1-Fahrzeugen erzielt.
Entschlossene Übung
Durch ein Rohr mit einem Querschnitt von 4, 2 cm2 fließt ein Wasserstrom mit 5, 18 m / s. Das Wasser steigt von einer Höhe von 9, 66 m auf ein niedrigeres Niveau mit einer Höhe von Null ab, während die Querfläche des Rohrs auf 7, 6 cm2 ansteigt.
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Wasserflusses in der unteren Ebene.
b) Bestimmen Sie den Druck in der unteren Ebene, wobei Sie wissen, dass der Druck in der oberen Ebene 152000 Pa beträgt.
Lösung
a) Da der Durchfluss erhalten bleiben muss, gilt Folgendes als erfüllt:
Q oberes Niveau = Q unteres Niveau
v 1 S 1 = v 2 . S 2
5, 18 m / s. 4, 2 cm² = v². 7, 6 cm 2
Clearing, das bekommen Sie:
v 2 = 2, 86 m / s
b) Unter Anwendung des Bernoulli-Theorems zwischen den beiden Ebenen und unter Berücksichtigung einer Wasserdichte von 1000 kg / m3 erhalten wir Folgendes:
v 1 2 ≤ / 2 + P 1 + ≤ g ≤ z 1 = v 2 2 ≤ / 2 + P 2 + ≤ g ≤ z 2
(1/2). 1000 kg / m3. (5, 18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m³. 10 m / s2. 9, 66 m =
= (1/2). 1000 kg / m3. (2, 86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s2. 0 m
Wenn Sie P 2 löschen, erhalten Sie Folgendes:
P 2 = 257926, 4 Pa
